微分方程式についての質問です。

質問

微分方程式についての質問です。

問題となる方程式は
(x+1)y" - (x+2)y' = 0
です。
よろしくお願いします。

また、定数係数でない2階微分方程式を、
公式を使わずに導出するコツなどがありましたら、
是非教えてください。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

P=dy/dxとおくと元の式は
(x+1)(dp/dx)=(x+2)p
変数分離して
dp/p=((x+2)/(x+1))dx=(1+1/(x+1))dx
積分して
logp=x+log(x+1)+c=log(c(x+1)e^x)
∴
P=c(x+1)e^x＝dy/dx
y=c((x-1)e^x+e^x)+d=cxe^x+d

(∫xe^xdx=(x-1)e^x)

>定数係数でない2階微分方程式を、
公式を使わずに導出するコツなどがありましたら、
是非教えてください。

定数係数でない2階微分方程式は実に複雑極まりないので
パターン分類できることが重要です。解けるものはたくさんありますが
解けないものもずっとたくさんあります。
演習問題集と対比してパターンが合えばしめたものです。

お礼

回答ありがとうございます。
他の問題集もチェックして、多くのパターンを身につけていきたいと思います。

回答No.1

aquatarku5

y'=zとおけば、

(x+1)z'-(x+2)z=0　即ち、
dz/z=(x+2)/(x+1)dx　と変数分離形になる。
したがって、
lnz=x+ln(x+1)+lnC
∴z=C(x+1)exp(x)
これより、yを求めればよい（更に1回積分）。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげ様で理解できました！！