微分方程式について

質問

微分方程式の問題について２つほど聞きたいことがあります。

(1)y''+y'-2y=10

(1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね？
定数係数２階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね？

(2)S(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) S(x)が満たす１階の微分方程式を求めよ。
(2) 上記の微分方程式を解いてS(x)を求めよ。

という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。
どのように解いていけばよいのかよく分かりません。

色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

(1) ご質問の意味がよくわかりません。
右辺が 10 のものが、そのまま 0 のものと同じ解になるはずはないですよね。

元の方程式の右辺の 10 を左辺に移項し、-2y-10=-2(y+5) と考えて、z=y+5 と定義すると、z'=y',z''=y'' ですから、(1)の方程式は z''+z'-2z = 0 に帰着します。そういう意味でしょうか。そういう意味ならそのとおりです。

または、右辺0の同次方程式の一般解を求め、それに非同次方程式の特殊解（この場合 y=-5 がすぐに見つかる）加えても、元の方程式の一般解は得られます。

(2) S'(x) = x^3/2 + x S(x) がすぐにわかると思います。

S' - x S = x^3/2 を解くには、

S(x) = f(x) e^{x^2/2} とおいてみます。

S'=f'e^(x^2/2) + x S より、f' e^(x^2/2) = x^3/2

f' = x^3 e^(-x^2/2)/2

f(0) = S(0) = 0 より、

f(x) = ∫_0^x f'(x) dx = ∫_0^x x^3 e^(-x^2/2)/2
= - [x^2 e^(-x^2/2)/2]_0^x + ∫_0^x x e^(-x^2/2) dx
= - x^2 e^(-x^2/2)/2 - e^(-x^2/2) + 1

故に、S(x) = - 1 - x^2/2 + e^(x^2/2)

と求まります。

実際、これをテイラー展開すると、

S(x) = -1-x^2/2 + Σ_(k=0)^∞ (x^2/2)^k/k!
= Σ_(k=2)^∞ x^(2k)/[(2k)(2k-2)...2]

となり最初の式が出てきます。

[別解] S'/x - S = x^2/2 ですが、

y=x^2/2 とおくと、dS/dx=dy/dx・dS/dy = x dS/dy より、

dS/dy - S = y

この特殊解は S = -1 - y

dS/dy - S = 0 の一般解は、S = C e^y

これらを足して、S = C e^y - 1 - y = C e^(x^2/2) - 1 - x^2/2

x = 0 とおくと、S(0) = 0 より、C = 1

故に、S(x) = e^(x^2/2) - 1 - x^2/2

お礼

ご丁寧に２つの問題に、しかもそれぞれ解法を２つずつ教えていただいて、ありがとうございました。

(1)については、勘違いしてました。
右辺が0やxなどの変数の解き方はどの本にも載っていたのですが、
右辺が定数のときの解き方が載ってなくて。
でも、ちょっと考えたら分かることで、簡単なことですよね。
お手数かけました。
本当にありがとうございました。

(2)に関しては、色々なところに微分方程式って使えるんだなと思いました。
まだまだ自分の勉強不足です。
昔から微分積分及び微分方程式は苦手なので、沢山問題をこなして
慣れていこうと思います。

本当に丁寧に教えていただいてありがとうございました。
また分からない問題が出てきたときは、ヨロシクお願いしますm(_ _)m