微分方程式の解き方について

質問

３階定数係数非同次微分方程式
y'''+3y''-4y'-12y=cos4x
の解き方を教えて下さい。
自分で調べたりして挑戦したのですが、どうしても答えまで導くことが出来なくて困っています。
出来れば、途中経過も詳しく書いて頂けると有難いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

右辺=0とおいた同次方程式の一般解は
特性方程式
s^2+3s^2-4s-12=(s+3)(s+2)(s-2)=0
から s=-3,-2,2
なので
y1=C1*e^(-3t)+C2*e^(-2t)+C3*e^(2t)
となる。

非同次微分方程式の特殊解y2は#1さんの言われるように
右辺の関数形から
y2=Asin4x+Bcos4xとおいて方程式に代入して
左辺と右辺の係数を比較して、a,bの方程式を立て、
連立方程式を解いて、sin,cosの係数A,Bを決定すれば良いですね。
y=y1+y2
が元の微分方程式の一般解となります。

お礼

回答ありがとうございます。
これらの内容を参考に自分でもう一度、解いてみます。

回答No.1

pascal3141

ヒントのみ
この式はｙについて線形なので、y'''+3y''-4y'-12y=0の一般解y1と
y'''+3y''-4y'-12y=cos4xの特殊解y2の和で表せる。y=y1+y2。
（１）y2は右辺の形から、y2=Asin4x+Bcos4xを代入して恒等式になるようにＡ・Ｂを決める。
（２）y1の一般解は、y'''+3y''-4y'-12y=0をよく見ると、左辺=y'''+3y''-4(y'+3y)=(y'+3y)''-4(y'+3y)=0となっていることがわかるので、z=y'+3yとおいて、z''-4z=0。z'=Pとおいて、z''=P(dP/dz)を代入すれば変数分離形。あとは任せます。

お礼

ありがとうございます。
これを参考にもう一度、解いてみます。