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微分方程式の線形と非線形の分類とは？
- 微分方程式には線形と非線形の2つの分類があります。
- 線形微分方程式は、未知関数やその導関数が1次式で表される形式です。
- 一方、非線形微分方程式は、未知関数やその導関数が2次以上の多項式で表される形式です。
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←A No.3 補足 ＞ 多項式においてxとyを共に変数とすると、 ＞ xyもyyもどちらも2次ですよね？ A No.3 を、ほとんど読んでないようですね？ xy も yy も { x,y } については 2 次です。 しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、 { y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。 x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。 yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、 xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。 (u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか？ また、 ＞ yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、 のようなことが気になってしまうなら、 yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か？ と考えてみるとよいと思います。 微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を 代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。 それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。
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- alice_44
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微分方程式というより、高校数Iで「多項式の次数」を確認した方がよいかも。 複数の変数に関する次数は、各変数に別のひとつの変数を代入したときの 「別の変数」に関する次数と一致します。 例えば、多項式 (u-1)(v^2+v+1) は、u について 1 次、v について 2 次、 {u,v} については 3 次です。u = v = t を代入すると、t について 3 次 ですからね。 これと同様に (a) yy’+xy=1 (b) xy’+xy=1 が {y,y'} について何次式かを考えると、(a) は 2 次式(項 yy' が 2 次)、 (b) は 1 次式になっています。項 xy' の x は、{y,y'} に入っていないので 微分方程式の次数には関係しません。
線形常微分方程式の一般形をあげておきます。でも書ける記号に制限があるので、3階にとどめておきます・・・(^^；)。 a(x)・y’’’＋b(x)・y’’＋c(x)・y’＋d(x)・y＝p(x) (1) ここで、a(x)～d(x)とp(x)は既知関数です。つまりyのｎ階微分の一次式（足し算）になるのが、線形微分方程式です。その意味で、y’+x-1/y=0は、1/yが入っているので駄目です。もちろん割ったら線形微分方程式になっちゃった、って場合はありますよ。その辺はもう、用語の問題です。一次式の事を、線形式とか線形結合とも言います。線形の名は、ここから来ています（例：線形代数 ⇒ 一次式，一次関数の一般理論とも言える）。 線形微分方程式が重要なのは、ほとんど必ず「解ける」からです。一番素直なのは、やはり定数係数のケースなので、例としては、 a・y’＋b・y＝p(x) (2) をあげときます。a，bはxによらない定数です。まず定数係数の斉次方程式、 a・y’＋b・y＝0 (3) に関しては、yの何回微分であろうと、特性方程式による解の公式があります。(3)に対してその解を、Ｃ・f(x)としときます。Ｃは積分定数です。Ｃ・f(x)は、(3)の一般解です。 非斉次の方程式(2)の一般解はと言うと、何でも良いから（どんな手段を使っても良いから）、(2)を満たす関数を一個見つければ良いんです。それをg(x)とします。g(x)は(3)の特殊解と言われますが、(3)の一般解は、 y(x)＝Ｃ・f(x)＋g(x) (4) となります。Ｃ・f(x)は「＝0」を満たし、g(x)は「＝p(x)」を満たす関数です。(4)は結果として、(2)の解は「＝0＋p(x)（＝p(x)）」に対応して、Ｃ・f(x)とg(x)の足し算だと言っています。これがどういう意味を持つかと言うと、次のようになります。 (2)や(3)の左辺の係数a，bは多くの場合、問題にしている系の性質から決まり、系の挙動を定義します。一方、右辺の0やp(x)は、系に対する入力で、y(x)はその出力です。従って(4)の意味は、(2)や(3)の左辺で表される系の出力は、入力の足し算に従うという事です。すなわち、 a・y’＋b・y＝p(x) (5) と、 a・y’＋b・y＝q(x) (6) の一般解Ｊ(x)とＫ(x)が見つかったら、Ｊ(x)＋Ｋ(x)は、 a・y’＋b・y＝p(x)＋q(x) (7) の一般解なんですよ。 出力が入力の足し算に従う事（足し算を線形と呼んだりする事）から、線形微分方程式の名が付きます。そしてそのような事が一般的に可能なのは、微分の性質から、(1)の形に限られます。Ｊ(x)＋Ｋ(x)を(7)に代入して、(5)，(6)を考慮すれば明らかですよね？。 その意味で、ラプラス方程式はポアソン方程式に対する斉次方程式であり、どちらも線形偏微分方程式です。ここからグリーン関数の方法が可能になって、常であろうと偏であろうと、線形微分方程式の形式解は、ほぼいつでも見つかります。
補足
ご回答ありがとうございます。 ポアソン方程式は、2階の線形偏微分方程式なのですね。 （a）y・y’+xy=1 （b）x・y’+xy=1 aは非線形なのに、なぜbは線形なのでしょうか？ y’+y-1/x=0として、1/xが入っていますが、非線形にならないのは なぜでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ereserve67
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>ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式である Poisson（ポアソン）方程式は線形ですよ．線形非同次です．同次は斉次ともいいます．同次，非同次の概念は線形方程式を解くにあたって重要です． 常微分方程式の線形，非線形の分類に間違いはありません． >非線形微分方程式 >（1）（y”）^2+y’-2x=0 >（2）x（y”’）^3+y’=3 >（3）y・y’+xy=1 これらはy,y',y'',・・・について1次でない（線形でない）から非線形なのです． >非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか？ (3)もyy'は2次でしょう．だから非線形です． >y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか？ 1/yは1次ではありません．これが非線形の項です． >線形微分方程式（2）y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの >でしょうか？ いえy',yの1次なので線形です． なお，線形の(1)(2)は非同次，(3)は同次．
補足
ご回答ありがとうございます。 http://okwave.jp/qa/q7818206.html にて頂いたご回答内容では、ポアソン方程式は非線形と言う ことだったのですが、ポアソン方程式は線形なのでしょうか？ 微分方程式の任意の2つの解が線形結合で表さるかどうかで 線形/非線形を説明していて、そうするとポアソン方程式は 非線形となりました。 ＞y,y',y'',・・・について1次でない（線形でない）から非線形なのです． についてなのですが、1次とはどう言う意味でしょうか？ （a）y・y’+xy=1⇒は1次でない。 （b）x・y’+xy=1⇒は1次ですよね。 aとbの違いがわかりません。。。 ご回答よろしくお願い致します。
補足
いつもご回答ありがとうございます。 ポアソン方程式が、2階の線形偏微分方程式であることは理解できた のですが、与えられた微分方程式が線形なのか非線形なのか理解 できません。 ＞例えば、多項式 (u-1)(v^2+v+1) は、u について 1 次、v について ＞2 次、{u,v} については 3 次です。u = v = t を代入すると、t について ＞3 次ですからね。 ご指摘の点に関しては理解できています。 y’について、 yy’とxy’はなぜ、どちらも同じ次数ではないのでしょうか？ y’y’ならば2次として理解できます。 多項式においてxとyを共に変数とすると、 xyもyyもどちらも2次ですよね？ yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、微分している 変数の次数としては等しいと考えています。 なぜ、xy’は1次なのにyy’は2次として考えるのでしょうか？ お手数をお掛けしますが、何卒ご回答よろしくお願い致します。