1階線形微分方程式

質問

y’-2y/x = xy^3 は y’/y^3-2/x*1/y^2と変形できる。
ここで、1/y^2 = uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。
次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。

この問題なのですが1階線形になることは示せたのですが、その次の1階線形微分方程式の解法がよく分かりません。
教えてください。よろしくお願いします。

↓

y'-2y/x＝xy^3

y'/y^3－2/xy^2＝x

u＝1/y^2とおく
∴u'＝-2y'/y^3

これを上式に代入すると
-u'/2－2u/x＝x
⇔u'＋4u/x＝-2x

回答No.2

alice_44

いわゆる「定数変化法」をやってみる。
u' + 4u/x = -2x よりも、両辺を x 倍して
xu' + 4u = -2x^2 のほうが少し扱い安いかな。

斉次化方程式 xv' + 4v = 0 は、変数分離形なので
容易に解けて、v'/v = -4/x より、log v = -4 log x
すなわち v = C/x^4 (C は定数) となる。
v の積分定数を変数で置き換えた u = w/x^4 と置いて
原式ヘ代入すると、w' = -2x^5
すなわち w = (-1/3)x^6 + D (D は定数)。
w を消去すれば u = (-1/3)x^2 + D/x^4 となる。

1/y^2 = u へ代入すると、y = (±√3)(x^2)/√(E - x^6)。
E は定数(E=3D)で、初期条件により定まる。
右辺先頭の ± も初期条件で定まる。

補足

w' = -2x^5の過程がよく分かりません。
できれば教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

k3eric

多分これで合ってると思うのですが…
https://pbs.twimg.com/media/A51AjEsCIAA7qX3.jpg:large

参考URL：

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