微分方程式 線形 非線形 その3

質問

y’+（x/y）=1が非線形であることは理解できました。
また、y’+y^2+xy=1も非線形ですね。

前回の質問で、
＞(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか？
は3次であることは理解できます。
{ u,v,w}については4次ですね。

yについての微分方程式は、yについての次数を見れば、線形なのか
非線形なのかわかると思います。
例えば、
y’+yx^2=1やy''+2x^2=yなどは、線形微分方程式ですね。

ここまでで間違いはありますでしょうか？何度もすいませんm(__)m
間違いがある場合はご指摘よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

前回も書いたことですが、
y についての微分方程式の次数は、
y についての(代数的な)次数ではなく、
｛y,y',y'',y''',…｝についての次数を見ます。
それが 1 次式なら、線型微分方程式です。
(y についての)定数項(x の関数でもよい)
を持つ 1 次式の場合を「非斉線型」といいます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.4

ereserve67

間違いはないと思います．

以前同じような質問でPoisson方程式が非線形だという話があったように思います．

私はそうではないと回答しました．

微分方程式が線形であるということを明確に定義すればよい話だと思うし，また定義されています．非線形はその否定「線形でない」ということです．

未知関数z=f(x,y)があって微分方程式が

yおよび導関数∂z/∂x，∂^2z/(∂x∂y)，・・・

に対して一次であることを線形といいます．例えば微分演算子

L=∂^2/∂x^2+∂^2/∂x^2

を使って，既知関数f(x,y)を使って

(☆)L(z)=f(x,y)

と書かれる方程式はPoisson方程式と呼ばれ線形です．また，Laplace方程式と呼ばれる

（★）L(z)=0

も線形です．今，☆の特殊解z_1を見つけたとしましょう．

L(z_1)=f(x,y)

次に★の一般解Zが見つかったとします．

L(Z)=0

このとき

z=Z+z_1

は，Lの線形性より

L(z)=L(Z+z_1)=L(Z)+L(z_1)=0+f(x,y)=f(x,y)

を満たし，☆の一般解をなします．

☆についてはこういうことも言えます．f(x,y)として2つのケースを考えます．

L(z_1)=f_1(x,y)

L(z_2)=f_2(x,y)

もしα，βを定数として，

f(x,y)=αf_1(x,y)+βf_2(x,y)

ならば

z=αz_1+βz_2

となります．このこともLの線形性から

L(z)=L(αz_1+βz_2)=αL(z_1)+βL(z_2)

=αf_1(x,y)+βf_2(x,y)=f(x,y)

となります．この考え方は非常に重要で，線形的手法を用いる物理学でよく使われます．（☆）Poisson方程式が線形でないというのはあり得ない話です．

お礼

ご回答ありがとうございます。
具体的な例も非常にわかりやすいでした。

ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

#1 の sigemund です．
ddtddtddt のコメント拝見しました．

なるほど，y に対する微分オペレータ(例えば，d/dx + x^2)の線形性のみ問題にして
右辺は通常問題にしないと．
そうですね，前の回答はちょっと解の加法性にこだわりすぎて
「ローカル方言」だった気がします．

ddtddtddt さん，コメントありがとうございました．

お礼

ご回答ありがとうございました。

定義などによって、いろいろな捉え方があるのですね。

回答No.2

noname#221368

＞前回の質問で、
＞＞(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか？
　　　は3次であることは理解できます。
＞{ u,v,w}については4次ですね。

　その通りなんですが、余りそういう見方に拘らない方が良いと思います。要は何を知りたいか？、何が未知数（未知関数）か？、です。

　例えば方程式、

　　ax＋b＝0　　　(1)

において、{a，x}で考えれば2次ですが、(1)がxに関する方程式だと（xが未知数と）了解していれば、aやbの値が具体的に与えられていなくても、「一次方程式」ですよね？。微分方程式だって同じです。

　だから、
＞yについての微分方程式は、yについての次数を見れば、線形なのか
非線形なのかわかると思います。

は、その通りです。

　#1さんへ。仰りたい事はわかるのですが、

＞> y’+yx^2=1やy''+2x^2=yなどは、線形微分方程式ですね。

までも「非線形」と言うのは、言い過ぎだと思います。「y’+yx^2=1やy''+2x^2=y」を、「非線形」に分類する考えはあるのかも知れませんが、かなりローカルな方言だと思いました。

　ふつう「y’+yx^2=1やy''+2x^2=y」は、線形微分方程式に分類されると思います。大抵の場合「線形」の意味は、解（や出力）が、入力の足し算に従う事を指す言葉で、適用範囲は「y’+yx^2=1」の左辺に関してであり、右辺の入力：定数関数の１は、別の話と捉えるのが普通と思えます。だから、斉次（同次）線形と非斉次（非同次）線形の区別があります。

　そうでなければ、ax＋b＝0を線形方程式（1次方程式）とは言えないはずです。あなたの考えに従うと、ax＝0だけが、線形方程式（1次方程式）になります。

　ご考慮下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

本当にありがとうございました。

回答No.1

siegmund

> y’+（x/y）=1が非線形であることは理解できました。
> また、y’+y^2+xy=1も非線形ですね。

おっしゃるとおり，どちらも非線形ですね．

> 前回の質問で、
> ＞(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか？
> は3次であることは理解できます。
> { u,v,w}については4次ですね。

そのとおりですね．

> y’+yx^2=1やy''+2x^2=yなどは、線形微分方程式ですね。

どちらも非線形です．
y から見て定数項(最初の例では右辺の1，後の例では左辺の 2x^2)
があると線形にはなりません．

微分方程式を満たす解が２つあったとします．
これらを y_1，y_2 とします．
で，y_1 + y_2 も元の微分方程式をみたすとき，
元の微分方程式は線形であると言います．

(1)　y’+yx^2 = 1
でやってみましょう．
y_1 と y_2 が(1)の解だというのですから
(2)　y_1’+ y_1 x^2 = 1
(3)　y_2’+ y_2 x^2 = 1
です．
(2)(3)を辺々加えてみますと
(4)　(y_1 + y_2)' + (y_1 + y_2) x^2 = 2
となります．
では，y_1+y_2 は元の微分方程式を満たしているでしょうか．
Y = y_1 + y_2 と書きなおしてみれば
(5)　Y' + Y x^2 = 2
となりますので，Y は元の微分方程式を満たしません．
もし(1)の代わりに
(1')　y’+yx^2 = 0
だったとすると，(5)に対応するのは
(5')　Y' + Y x^2 = 0
ですから，Y は元の微分方程式(1')を満たすことになります．
つまり，(1)では右辺の 1 があるために微分方程式が線形でないのです．
これが，上で
「y から見て定数項(最初の例では右辺の1，後の例では左辺の 2x^2)
があると線形にはなりません．」
と言ったことの意味です．