微分方程式の線形、非線形の証明

質問

「y' * y'' = 1 　…(*) という微分方程式が線形であるか、非線形であるかを証明せよ。」
（ただし、*は掛け算、y'はxの１階微分、y''はxの２階微分であるとする。）

【自分の考察】
２階線形微分方程式の定義は、
P0(x)y'' + P1(x)y' + P2(x)y = Q(x)
であるので、(*)はこの形に当てはまらず、
y' * y''　同士の掛け算になっているので、
『非線形』だと思う。

ここまでは、予想がついたのですが、
もっと数学的に証明することはできるのかと
疑問に思いまして、質問させていただきました。

線形関数で学習した、
f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2)
f(ax) = af(x)
などを、使うのかと思ったのですが、
よくわかりません。

簡単そうに見えるのに、
まだ先が見えてこないので、
どなたかご教授いただければと思います。
よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞線形関数で学習した、
＞f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2)
＞f(ax) = af(x)
＞などを、使うのかと思ったのですが、
＞よくわかりません。

　良い線行っています。
　次のどちらか一方でも満足できないことを示せれば非線形であるということができます。

１）　与えられた微分方程式を満たす関数にy1とy2の２つがあったとします。このときy＝y1+y2は微分方程式の解であると言えるか。

２）　与えられた微分方程式を満たす関数にy1があったとき、ｙ＝ay1（ａは任意の実数）が微分方程式の解であると言えるか。

　与えられた微分方程式では、このどちらもいうことができませんので「非線形」ということになります。

回答No.2

ringohatimitu

一般に関数から関数への「関数」（普通は作用素、写像などと呼びますが）Lを次のように定義してみます（ここで微分可能性など細かいことは気にせず単に滑らかな関数からそれ自体への写像だと考えてください）：
Ly=y'y''-1

このとき与えられた方程式はLy=0と同値です。このLはyに関して線形ではありませんね。
一般に微分方程式はある作用素LによってLy=0と表されます（形式的な場合も含め）。その微分方程式が線形か非線形かどうかはこの作用素Lが線形か非線形かということに対応しています。このように見ると自然に方程式の線形性が写像の線形性に由来することが理解出来ると思います。