偏微分方程式の解き方(補助微分方程式利用)

質問

P(x, y)∂z/∂x＋Q(x, y)∂z/∂y＝０を解く際に、

補助微分方程式として、
dx/P(x, y)＝dy/Q(x, y)・・・（＊）

を考えますが、（＊）の形を思いつく過程を教えて頂けると嬉しいです。

また、１階の斉次線形偏微分方程式は、すべて（＊）の形の補助微分方程式利用で解けるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.5

kiyos06 · ベストアンサー

70) (50)で考える。

71) (51)の平面をy =0(xu平面)で切断する。
71.1)直線は、傾きa(=∂u/∂x)
71.2)x =0 --> u =u0 --> Δu =0
71.3)x =1 --> u =u0 +a --> Δu =a

72)x =0(yu平面)で切断
72.1)傾きb(=∂u/∂y)
72.2)y =0 --> Δu =0
72.3)y =1 --> Δu =b

73)y =0,1で切断
73.1)直線はΔu =0.1bから傾きa
73.2)x =0 --> Δu =0.1b
73.3)x =1 --> Δu =0.1b +a

73)y =0,2で切断
73.1)Δu =0.2bから傾きa
73.2)x =0 --> Δu =0.2b
73.3)x =1 --> Δu =0.2b +a

...

74)y =1
74.1)Δu =bから傾きa
74.2)x =0 --> Δu =b
74.3)x =1 --> Δu =b +a

75)x =1, y =1で a +b

お礼

Arigato

回答No.4

kiyos06

>の部分を詳しく解説して頂けますと
60)どこが(どう)分かりませんか? (or 受け入れにくい?)
60.1)平面から(51.1)
60.2) (51.1) --> (52)
60.3) (51.1) + (52) --> (53)

61)or 頭の中で掴む方法が分からない。

参考URL：

http://qanda.rakuten.ne.jp/profile/answer/history/u946114.html

お礼

ありがとう

補足

「61)or 頭の中で掴む方法が分からない。」のです。

回答No.3

kiyos06

>全微分自体も、ちょっと消化不良でよくわからない
50)x,y,uの直角座標の空間を考える。u =f(x,y)
51)微小変動範囲では、関数は平面扱いできる。
51.1) (u -u0) =a(x -x0) +b(y -y0)
52)a =∂u/∂x, b =∂u/∂y
53)Δu =∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy

>「Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。」
>という発想は、どこから導かれるのでしょうか？
54)u:一定(Δu =0)のxy平面上での等高線を求めている。
54.1) (5)は、その等高線を満足する式
54.2)注:微分方程式なので、任意の積分定数を含む。(複数の等高線が考えられる。)
55)Δx =0の時は、x一定のyu平面上での等高線
56)Δy =0の時は、y一定のxu平面上での等高線
57) (54),(55),(56)の内、2平面上の等高線が求まれば、x,y,u空間全体での
関数(解)を求めることができる。

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n285169

お礼

ありがとう

補足

あなたの回答を見ていると、私まで頭がよくなった気がします。
もっと勉強してあなたに追い付きたいです。

微小変動範囲で関数を平面扱いできるというイメージが伝わってきました。

「51.1) (u -u0) =a(x -x0) +b(y -y0)
52)a =∂u/∂x, b =∂u/∂y
53)Δu =∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy」
の部分を詳しく解説して頂けますと嬉しゅうございます。

回答No.2

kiyos06

>「P(x, y)∂z/∂x＋Q(x, y)∂z/∂y＝０」のことと思って間違いないでしょうか？
30)はい。zを間違えました。
30.1)uをzに読み替えてください。以後もuを使います。

>2.1)∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy =0(=Δu)」
>の部分が幾ら考えてもよくわかりません。
31)全微分(Δu)の表現式です。
31.1)xがΔxだけ、yがΔyだけ、両方変化した時のuの変化量Δuを(偏微分を使って)求める式

40)YahooやGoogleで「全微分 偏微分」を検索する。
40.1)到達できる検索法(参照URL)

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n320452

お礼

ありがとう

補足

全微分のことなのですね。「Δ」って「d」のことだったのですね。
全微分自体も、ちょっと消化不良でよくわからないので詳説願いたいところなのですが、それよりも、

「Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。」

という発想は、どこから導かれるのでしょうか？

高校数学で増減表を作るときによくやっていた「（導関数）＝０となるxを探す」的なことでしょうか？

回答No.1

kiyos06

0)P(x,y)∂u/dx +Q(x,y)∂u/dy =0
0.1)∂u/∂x =-Q(x,y) /P(x,y) ∂u/∂y

1)微小変化Δx、Δy、Δuで考える。
2)Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。
2.1)∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy =0(=Δu)
3) (0.1)を(2.1)に代入
3.1) ( -Q(x,y)/P(x,y) ∂u/∂y ) Δx +∂u/∂y Δy =0
4)-Q(x,y) Δx +P(x,y) Δy =0
5)Δx/P(x,y) =Δy/Q(x,y)

>すべて（＊）の形の補助微分方程式利用で解けるのでしょうか？
10)いいえ、Δx=0の時とか、Δy=0の時のが出てきます。
11)dx/P(x,y,u) ＝dy/Q(x,y,u) =du/R(x,y,u)

20)補助微分方程式を使わない解法
20.1)参照URLの偏微分方程式を参照

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n296821

お礼

１行目の件、解決です。

ありがとう

しかし・・・（補足２につづく）

補足

回答ありがとうございます。

1行目の、
「P(x,y)∂u/dx +Q(x,y)∂u/dy =0」とは何ですか？
「P(x, y)∂z/∂x＋Q(x, y)∂z/∂y＝０」のことと思って間違いないでしょうか？

また、
「2)Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。
2.1)∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy =0(=Δu)」

の部分が幾ら考えてもよくわかりません。
詳説願います、数学博士！（＞＜）