• ベストアンサー
  • 困ってます

偏微分方程式の解き方(補助微分方程式利用)

P(x, y)∂z/∂x+Q(x, y)∂z/∂y=0を解く際に、 補助微分方程式として、 dx/P(x, y)=dy/Q(x, y)・・・(*) を考えますが、(*)の形を思いつく過程を教えて頂けると嬉しいです。 また、1階の斉次線形偏微分方程式は、すべて(*)の形の補助微分方程式利用で解けるのでしょうか? よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.5
  • kiyos06
  • ベストアンサー率81% (63/77)

70) (50)で考える。 71) (51)の平面をy =0(xu平面)で切断する。 71.1)直線は、傾きa(=∂u/∂x) 71.2)x =0 --> u =u0 --> Δu =0 71.3)x =1 --> u =u0 +a --> Δu =a 72)x =0(yu平面)で切断 72.1)傾きb(=∂u/∂y) 72.2)y =0 --> Δu =0 72.3)y =1 --> Δu =b 73)y =0,1で切断 73.1)直線はΔu =0.1bから傾きa 73.2)x =0 --> Δu =0.1b 73.3)x =1 --> Δu =0.1b +a 73)y =0,2で切断 73.1)Δu =0.2bから傾きa 73.2)x =0 --> Δu =0.2b 73.3)x =1 --> Δu =0.2b +a ... 74)y =1 74.1)Δu =bから傾きa 74.2)x =0 --> Δu =b 74.3)x =1 --> Δu =b +a 75)x =1, y =1で a +b

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

Arigato

その他の回答 (4)

  • 回答No.4
  • kiyos06
  • ベストアンサー率81% (63/77)

>の部分を詳しく解説して頂けますと 60)どこが(どう)分かりませんか? (or 受け入れにくい?) 60.1)平面から(51.1) 60.2) (51.1) --> (52) 60.3) (51.1) + (52) --> (53) 61)or 頭の中で掴む方法が分からない。

参考URL:
http://qanda.rakuten.ne.jp/profile/answer/history/u946114.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとう

質問者からの補足

「61)or 頭の中で掴む方法が分からない。」のです。

  • 回答No.3
  • kiyos06
  • ベストアンサー率81% (63/77)

>全微分自体も、ちょっと消化不良でよくわからない 50)x,y,uの直角座標の空間を考える。u =f(x,y) 51)微小変動範囲では、関数は平面扱いできる。 51.1) (u -u0) =a(x -x0) +b(y -y0) 52)a =∂u/∂x, b =∂u/∂y 53)Δu =∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy >「Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。」 >という発想は、どこから導かれるのでしょうか? 54)u:一定(Δu =0)のxy平面上での等高線を求めている。 54.1) (5)は、その等高線を満足する式 54.2)注:微分方程式なので、任意の積分定数を含む。(複数の等高線が考えられる。) 55)Δx =0の時は、x一定のyu平面上での等高線 56)Δy =0の時は、y一定のxu平面上での等高線 57) (54),(55),(56)の内、2平面上の等高線が求まれば、x,y,u空間全体での 関数(解)を求めることができる。

参考URL:
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n285169

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとう

質問者からの補足

あなたの回答を見ていると、私まで頭がよくなった気がします。 もっと勉強してあなたに追い付きたいです。 微小変動範囲で関数を平面扱いできるというイメージが伝わってきました。 「51.1) (u -u0) =a(x -x0) +b(y -y0) 52)a =∂u/∂x, b =∂u/∂y 53)Δu =∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy」 の部分を詳しく解説して頂けますと嬉しゅうございます。

  • 回答No.2
  • kiyos06
  • ベストアンサー率81% (63/77)

>「P(x, y)∂z/∂x+Q(x, y)∂z/∂y=0」のことと思って間違いないでしょうか? 30)はい。zを間違えました。 30.1)uをzに読み替えてください。以後もuを使います。 >2.1)∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy =0(=Δu)」 >の部分が幾ら考えてもよくわかりません。 31)全微分(Δu)の表現式です。 31.1)xがΔxだけ、yがΔyだけ、両方変化した時のuの変化量Δuを(偏微分を使って)求める式 40)YahooやGoogleで「全微分 偏微分」を検索する。 40.1)到達できる検索法(参照URL)

参考URL:
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n320452

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとう

質問者からの補足

全微分のことなのですね。「Δ」って「d」のことだったのですね。 全微分自体も、ちょっと消化不良でよくわからないので詳説願いたいところなのですが、それよりも、 「Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。」 という発想は、どこから導かれるのでしょうか? 高校数学で増減表を作るときによくやっていた「(導関数)=0となるxを探す」的なことでしょうか?

  • 回答No.1
  • kiyos06
  • ベストアンサー率81% (63/77)

0)P(x,y)∂u/dx +Q(x,y)∂u/dy =0 0.1)∂u/∂x =-Q(x,y) /P(x,y) ∂u/∂y 1)微小変化Δx、Δy、Δuで考える。 2)Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。 2.1)∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy =0(=Δu) 3) (0.1)を(2.1)に代入 3.1) ( -Q(x,y)/P(x,y) ∂u/∂y ) Δx +∂u/∂y Δy =0 4)-Q(x,y) Δx +P(x,y) Δy =0 5)Δx/P(x,y) =Δy/Q(x,y) >すべて(*)の形の補助微分方程式利用で解けるのでしょうか? 10)いいえ、Δx=0の時とか、Δy=0の時のが出てきます。 11)dx/P(x,y,u) =dy/Q(x,y,u) =du/R(x,y,u) 20)補助微分方程式を使わない解法 20.1)参照URLの偏微分方程式を参照

参考URL:
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n296821

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

1行目の件、解決です。 ありがとう しかし・・・(補足2につづく)

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 1行目の、 「P(x,y)∂u/dx +Q(x,y)∂u/dy =0」とは何ですか? 「P(x, y)∂z/∂x+Q(x, y)∂z/∂y=0」のことと思って間違いないでしょうか? また、 「2)Δx、Δy変化した時にΔu =0となる状態を考える。 2.1)∂u/∂x Δx +∂u/∂y Δy =0(=Δu)」 の部分が幾ら考えてもよくわかりません。 詳説願います、数学博士!(><)

関連するQ&A

  • 線形微分方程式について

    微分方程式の分類に関して、 線形…y(x)及びその微分について一次までのもの。 と手元の資料には書いてるんですが、 これはy(x)もしくはdy(x)/dx のみを含んでいる、ということですか? 調べてみると、斉次2階微分方程式なるものもあるようで困っています。(斉次ということは線形ですよね?2次が含まれていていいんでしょうか?)

  • 線形微分方程式の定義

    線形微分方程式の定義というのは、以下のもので認識しているのですが、 これであっているのでしょうか? (検索しても、とくに「定義」として書かれているものは少なく、 自分の「定義」の認識が違っていると大変なので…。) n階の微分方程式が P0(x) d^ny/dx^n + P1(x) d~n-1y/dx^n-1 + … + Pn-1(x)dy/dx +Pn(x)y = Q(x) のかたちをしているとき、これを線形微分方程式という。

  • 微分方程式

    第1問 dy   y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい) dx    2xy 第2問 一階線形微分方程式  dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。 また、その時の一般解を求めなさい

  • 全微分方程式の変数分離

    斉次全微分方程式 P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0 をzが変数分離された式 P'(u,v)du+Q'(u,v)dv+dz/z=0 となることを示したいのですが、 まずx=uz,y=vzと置くと dx/dz=z*du/dz+u dy/dz=z*dv/dz+v となりますよね。 これを代入して色々やっているのですが、 どうやっても目的の式にもっていくことが出来ません…。 どなたかやりかただけでもお願いします。

  • 非線形微分方程式の問題について

    微分方程式の問題について質問させていただきます。 [問題] 以下の微分方程式を解け。 dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y) ただし、x=0のときy=0とする。 非線形なのでp=dy/dxとおいて、解いたのですが、解として (1) y = 1 + x - e^-x (2) y = (1/2)x^2 の二つが出てきました。しかし、(1)の方は微分して与式に代入しても、 式を満たさなかったのでですが、これらの解は合っているでしょうか? おそらく、(1)は間違っていると思うのですが、p=dy/dxとおいて解くと、なぜかこのような解が出てきてしまいました。 回答よろしくお願いいたします。

  • 完全微分方程式の問題の解き方

    完全微分方程式 次の完全微分方程式を解けと言う問題で (x dx + y dy)/(√(1+x^2+y^2) = 0 ・・・・・(1) これを P(x)dx + Q(y)dy = 0が完全微分方程式なら一般解は ∫P(x)dx - ∫{(∂/∂y)(∫P(x)dx) - Q(y)}dy = C を使おうと、式(1)を (x / (√(1+x^2+y^2))dx + (y / (√(1+x^2+y^2))dy=0 として解こうかと思ったんですが、 途中の計算で式が複雑になりすぎて行き詰ってしまいました。 公式に当てはめる前にもっと式を変形しないと駄目なんでしょうか? もっと他の方法があるんでしょうか? アドバイスお願いします。

  • 微分方程式

    dy/dx = f(y/x) の形の微分方程式で y/x = z すなわち y=xz とおき、未知数関数yからzに変換すると dy/dx = z + x(dz/dx)・・・(1) である。 なぜ(1)の式になるのでしょうか? 教えて下さい。

  • 常微分方程式の問題

    常微分方程式の問題でいくつか解けなかったところがあるので教えていただきたいです。 この章で扱っているのは 変数分離系・同時系・線形1階微分方程式・完全微分形・線形2階微分方程式(同次形)・線形2階微分方程式(非同次形) を扱っていました。 その内、一般解を求める以下の問題 (1)dy/dx=xe^-y (2)x(dy/dx)-y=1 (3)(2y-x^2)dx+(2x-y^2)dy=0 と 与えられた条件をそれぞれ満たす微分方程式の解を求める以下の問題 (1)dy/dx=y/x (x=1のときY-2) (5)y''+5y'+6y=0 (x=0のときy=0、y'=1) の問題が解くことができませんでした。 どなたか解法をわかりやすく教えていただけないでしょうか?

  • 完全微分方程式

    P(x,y)dx+Q(x,y)dy =(cos(x)y^2 + 2xcos(y) + y^2)dx + (2ysin(x) + -sin(y)x^2 + 2xy)dy =0 という完全微分方程式の解き方を出来れば分かりやすく教えてください お願いします

  • 微分方程式

    x(dy)/(dx)+2y=xという微分方程式を解くのですが、これをxでわると (dy)/(dx)+(2y)/(x)=1となるのはわかるのですが、その後、 z=(y)/(x),y=xz・・(1)として (dy)/(dx)=z+x(dz)/(dx)・・(2) となる(1)から(2)への展開のところがわかりません。 (2)の左辺はyをxで微分しているのがわかるのですが、右辺の意味がわかりません。教えて下さい。