非線形微分方程式の問題について

質問

微分方程式の問題について質問させていただきます。

[問題]
以下の微分方程式を解け。

dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y)

ただし、x=0のときy=0とする。

非線形なのでp=dy/dxとおいて、解いたのですが、解として

(1) y = 1 + x - e^-x
(2) y = (1/2)x^2

の二つが出てきました。しかし、(1)の方は微分して与式に代入しても、
式を満たさなかったのでですが、これらの解は合っているでしょうか？
おそらく、(1)は間違っていると思うのですが、p=dy/dxとおいて解くと、なぜかこのような解が出てきてしまいました。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y)

p=dy/dx

p(p-y)=x(x-y)

(p-x)(p+x-y)=0

1)p-x=0

dy/dx=x

y=x^2/2+c

2)p+x-y=0

dy/dx-y=-x (1)

定数係数の一階常微分方程式の解として

y=ce^x+x+1

(1)を満たすこと羽確認すること。

お礼

回答ありがとうございます。
私の計算ミスだったみたいです。
その他は合っているようで安心しました。
ありがとうございました。

回答No.1

Ae610

dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y)

当方で計算してみると
y = x^2/2
または
y = x＋1－e^x

・・・となる！

お礼

申し訳ありません。
私の計算ミスでした。
訂正させていただきます。

× y = x＋1－e^-x
○ y = x＋1－e^x