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微分方程式の問題(2階)

yy"-(y')^2=y^2logy 解:logy=Ae^(x)+Be^(-x) が解けなくて困っています。 p=y'として、 d^2y/dx^2=dp/dx=dp/dy・dy/dx=p・dp/dy 問題式に代入して、 yp(dp/dy)-p^2=y^2logy.....(1) p(dp/dy)-p^2/y=ylogy......(2)1/yを両辺にかける pとyについてのベルヌーイ形なので u=p^2として du/dy=2p・dp/dy (2)に代入して、 1/2(du/dy)-u/y=ylogy.....(3) 線形微分方程式になるので、 u=exp^(-∫-2/y){∫exp^(-∫-2/y)・(2ylogy)+C}.....(4) これを解いていくと、 u=p^2=y^2{(logy)^2+C}.......(5) p=y√[(logy)^2+C].........(6) とってしまい、以降が解けません。 (解き方自体が間違っているかもしれません) どなたか教えてください。

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f’’(x)=f(x)からexp(x)とexp(-x)が一次独立な解であることは 容易にわかるので、一般解はその線形結合としてAexp(x)+Bexp(-x)。 あるいは、exp(rx)の形の関数から解を探すとして、f’’(x)=f(x) に代入すると、r^2exp(rx)=exp(rx)より、r^2=1、r=±1 一般的な線形微分方程式の解を探すときは、exp(rx)の形の関数から 解を探し、rに関する代数方程式(特性方程式と呼ばれる)を解いて rを求める。 この一般的な理論に関しては、成書で勉強された方が良いと思います。 (f’’=fは最も簡単な形。) また、 f(x)=logyとおいたので、f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x)から、 logy=Aexp(x)+Bexp(-x)となるのは良いですね? (yはxの関数なので、logyもxの関数) あえて直せば、y=exp(Aexp(x)+Bexp(-x))

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質問者からのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。 やっとわかることができました。 f"(x)=f(x)を特性方程式と見るのですね。 頭の固い私には目からウロコです。 早速、解き直してみます。 夜遅くにありがとうございました。

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yy''-(y')^2=y^2logyの両辺をy^2で割ると、 (yy''-(y')^2)/y^2=logy (y'/y)'=logy (logy)''=logy となるので、f(x)=logyと考えれば、 f''(x)=f(x)の形に帰着される。 この一般解は、 f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x) すなわち、 logy=Aexp(x)+Bexp(-x) になる。 商の微分法を思いつくかどうかがポイントですか。

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質問者からのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。 何度も質問申し訳ないのですが、 >この一般解は、 >f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x) で一般解が、f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x)と出てくるのがわかりません。 logy=Aexp(x)+Bexp(-x) これは公式なのでしょうか

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