微分方程式の問題

質問

y'(y'")-(y")^2=0 解：Be^(Ax)+C
の解き方なのですが、
y'=P y"=Q とおいて
y"=dp/dx=dp/dy・dy/dx=dp/dy・P......(1)
y"'=dQ/dx=dQ/dy・dy/dx=dQ/dy・P......(2)
(1),(2)を元の式に代入して、
p(p・dQ/dy)-(p・dp/dy)^2=0...(3)
dQ/dy-(dp/dy)^2=0..(4)
と考えてみたのですが、行き詰ってしまいました。
どなたかアドバイスお願いします

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#2,#4です。
Tacosanの言われるように
僕が最初示した解の形式y=Be^(Ax)+Cx+Dは解を導く過程で出てきますね。
この式を元の方程式に代入して検証する必要がありますね。
その結果ABC=0が出てきますがA=0またはB=0ではy=Cx+D'が解となり、
C=0ではy=Be^(Ax)+Dが解となるようです。どちらも解になるようです。
二つのタイプの解が存在するということでしょうね。元の方程式を満たしますから…。
A#2のお礼の補足です。
>y"/y'=A
>log(y')=Ax+B
>y'=Be^(Ax)
y'=e^(Ax+B)=B'e^(Ax),B'=e^B
>y=(B/A)e^(Ax)+C
>B/A=B'
y=(B'/A)e^(Ax)+Cx+D=B"e^(Ax)+Cx+D
B"=B'/A
この解を方程式に代入して
A^3BCe^(Ax)=0
これから定数の間にABC=0の関係があり、（１）A=0またはB=0から出る解と（２）C=0から出る解と二つのタイプの解が存在するようです（この回答の頭の部分参照）。

y=B'e^(Ax)+C

お礼

回答ありがとうございます。
とても丁寧な回答でわかりやすかったです。
問題集の回答には
y=B'e^(Ax)+C
としか載っていませんでした。
記載ミスのようですね。
訂正しておきます。

回答No.5

Tacosan

や, y = Be^(Ax) + Cx + D を元の微分方程式に代入すると
[ABe^(Ax) + C][A^3Be^(Ax)] = [A^2 Be^(Ax)]^2, つまり
A^3 B C e^(Ax) = 0
となって, 結局 ABC = 0 ではないかな? B = 0 とすると y = Cx + D で, 言われた通り確かにこれも解になってますよね.

回答No.4

info22

A#2です。A#3さんの指摘どおり定数は3個ですね。
y=Be^(Ax)+Cx+Dの形の解が出ますが元の方程式に代入するとC＝0となりますので結果としてはxの項が無くなって、質問者さん元の解
y=Be^(Ax)+C
で良いですね。失礼しました。

回答No.3

Tacosan

おお, 前が 2階微分だと勘違いしてた (苦笑). なんか, プライムの表示がおかしかったので (←言い訳)
ところで, 3階の微分方程式なのに任意定数が 4個あるのはまずいんじゃないでしょうか＞#2.

回答No.2

info22

解：Be^(Ax)+Cは
Be^(Ax)+Cx+D のミスでは無いでしょうか？
(∵y"=0となる解y=Cx+Dも方程式を満たします。)
解き方はANo1の方のy'y"で割る方法で解けますので、途中までのヒントを示しますので、続きはやってみてください。分らなければ解の経過を示して補足質問して下さい。
ヒント）途中まで
y"'/y"=y"/y'
ln(y")=ln(y')+Q
y"=y'e^Q=Ay'
y"/y'=A
…。

お礼

y"/y'=A
の続きから書きます。
log(y')=Ax+B
y'=Be^(Ax)
y=(B/A)e^(Ax)+C
B/A=B'
y=B'e^(Ax)+C
このように解くのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

素直に y' y'' で割ればいいと思うのはなぜだろう....

補足

y'(y")-(y")^2=0
であれば確かに解けます。
見にくくて申し訳ないのですが、
y'(y"')項の括弧のなかの微分は３階微分なのです。
そこで躓いています。