微分方程式

質問

(1+x^2)y"+1+(y')^2=0 解：Ax+(1+A^2)log(A-x)+B
の解き方がわかりません。
dy/dx=Pとして
(1+x^2)dp/dx+1+p^2=0
としたところ行き詰ってしまいました。
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.2

mis_take · ベストアンサー

> dy/dx=Pとして
> (1+x^2)dp/dx+1+p^2=0
のつづき
dp/(1+p^2)+dx/(1+x^2)=0
積分して
arctan(p)+arctan(x)=c
arctan(p)=α，arctan(x)=β, tan(c)=C とおく
C=tan(α+β)={tan(α)+tan(β)}/{1-tan(α)tan(β)}={p+x}/{1-px}
C(1-px)=p+x
∴y'={C-x}/{Cx+1}
これを積分すればいいのですが，あなたの解を見ると，ここで -1/C=A と置いてます。
y'={1-x/C}/{x+1/C}={1+Ax}/{x-A}=A+{A^2+1}/{x-A}
y=Ax+(A^2+1)log|x-A|+B

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧な説明でとてもわかりやすいのですが、
y'={1-x/C}/{x+1/C}={1+Ax}/{x-A}=A+{A^2+1}/{x-A}
の部分の{1+Ax}/{x-A}=A+{A^2+1}/{x-A}が理解できません。
もしよろしければ教えてください

回答No.4

mis_take

>{1+Ax}/{x-A}=A+{A^2+1}/{x-A}が理解できません。

積分の計算において，仮分数式（分子の次数≧分母の次数）は，整式＋真分数式（分子の次数＜分母の次数）に変形します。
f(x)/g(x) は，f(x)をg(x)で割り算して，商q(x)と余りr(x)を求め
f(x)/g(x)=q(x)+r(x)/g(x)
とします。
Ax+1 ÷ x-A = A … A^2+1 なので
(Ax+1)/(x-A) = A + (A^2+1)/(x-A)

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
よくわかりました。
また質問するかもしれませんが、そのときは宜しくお願いします。

回答No.3

noname#101087

>{1+Ax}/{x-A}=A+{A^2+1}/{x-A}が理解できません。

分数式から真分数を取り出したのです。
(左辺の分子を 1+Ax=A(x-A)+1+A^2 とリライトすればわかり易いのかな)

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました。
もう一件の方返事が遅れてしまい申し訳ありません。
今日中には出したいと思っています。

回答No.1

noname#101087

>(1+x^2)dp/dx+1+p^2=0

これは「変数分離タイプ」ですね。
　{1/(1+p^2)}dp={-1/(1+x^2)}dx

これならば、力ずくで解けるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
早速やってみます