微分方程式の解き方
- 微分方程式の解き方を学ぶために、y" - 2y' + y = x sinxの一般解を求める問題と、変数分離法を使った(y^2)*((d^2)y/d(x^2)) = (dy / dx)^3の解法を考えます。
- 問題1では、一つの解の予想の仕方が分からない状況です。問題2では、変数分離を用いて解を求めていますが、最終的な答えに間違いがあるかどうかも確認したいと思っています。
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微分方程式の解き方
１．y" - 2y' + y = x sinxの一般解を求めよ。 この問題で、一つの解の予想の仕方が分かりません。 ２．(y^2)*((d^2)y/d(x^2)) = (dy / dx)^3 dy/dx = p、((d^2)y/d(x^2)) = (dp / dy)p とおき、 y^2 * p *(dp /dy)= P^3 y^2 * (dp/dy) = P^2 変数分離をして 1/(p^2) dp = 1/(y^2) dy -(1/p) = -(1/y) + C 1/p = 1/y - C p = y - 1/C p=dy/dx = y + A (A = -1/Cとおく) 1/(y + A) dy = dx log|y + A| = x + B y + A =±e^(B + x) y = Ce^x - A となりましたが 答えはlog|y|=x + C1y + C2です。 間違っているところを指摘していただけるとありがたいです。
- tki-
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１． y=Ax*sinx+Bx*cosx+C*sinx+D*cosxとおくと、 A=0,B=1/2,C=-1/2,D=1/2 になる。従って、 y=x/2*cosx-1/2*sinx+1/2*cosx ２． ((d^2)y/d(x^2)) = (dp / dy)pが間違っている。 正しくは、 ((d^2)y/d(x^2)) = d/dx(dy/dx)=d/dx(p)=dp/dx
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