2階斉次線形微分方程式 P(x')=-1/x' ?

質問

x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の一般解を求めよう。

前の例で示したように、x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の基本解の1つは y_1 = x である。これと1次独立なもう1つの基本解は、式(3.9)を用いて次のように求まる。

y_2 = y_1 ∫ 1/y_1^2 exp (-∫P(x') dx') dx
= x ∫ 1/x^2 exp (-∫(-1/x') dx') dx　　　　　　　← P(x') = (-1/x') ？
= x ∫ 1/x^2 exp (log x) dx
= x ∫ x/x^2 dx
= x log |x|
よって、一般解は y = c_1x + c_2x log |x| となる。

・・・という問題で、なぜ P(x') = (-1/x') になるのか分かりません。

この本ではx'というのは、その前のページに書かれている解説で初めて出てきました：

　　　　　(d^2 z)/(dx^2) + (P(x) + 2 1/y_1 dy_1/dx ) dz/dx = 0

で、X(x) = dz/dx とおいて X(x)についての微分方程式を次のように解くことができる。

　　　　　dX/dx + (P(x) + 2 y_1'/y_1) X = 0
　　　　　dX/X = - (P(x) + 2 y_1'/y_1) dx
　　　　　log X = -∫(P(x') + 2 y_1'/y_1) dx' + C　　　　　←ここ

・・・と続くのですが、いまいちここが理解できていません。
これはきっと、左辺はXで、右辺はxで、両辺を積分したんですよね？
このx'というのは元の数字の微分したものだと思うんですけど、
上の問題のように P(x) = - x の場合、x'は幾つになりますか？
そして、なぜ P(x') = (-1/x') になるんですか？
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1です．お礼を読んで分かりました．

質問者様の悩みはおそらくこうでしょう．解法10と問題をもう一度あげてみましょう．

解法10：d^2 y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y=0

問題x^2d^2 y/dx^2-xdy/dx+y=0

よく見て下さい．決定的に違うところがありますね．そうdy^2/dx^2の係数がそれぞれ1とx^2です．解法10の一般公式

『基本解の一つy_1⇒もう一つの基本解y_2=y_1∫1/y_1^2 exp (-∫P(x') dx')dx』

を使うためにはこれらの係数をそろえないといけません．つまり，問題の方程式の両辺をx^2で割って

問題：d^2 y/dx^2-(1/x)dy/dx+(1/x^2)y=0

としなくてはなりません．解法の方程式と見比べると

P(x)=-1/x,Q(x)=1/x^2

となるのです．

解法10の方程式はあくまでd^2ｙ/dx^2の係数が1です．そのことを前提に導かれた公式を適用するには同じ形に変形しなければなりません．

後は分かりますね．

お礼

なるほど、全体をx^2で割ってたんですね。
今回は式の中でQ(x)を使わなかったですが、使っていたらそこも間違うところでした。
・・・この本、それならそうと一行書いてほしかったです・・・。
でも、お陰でこれから間違えないで済みそうです。
本当にありがとうございました！

回答No.2

sol_solenoid

この問題では、定数変化法に基づく階数低下法といわれる手法を使い
1つのわかっている基本解(ここではy_1)からもう1つの基本解を求め、これらの基本解から一般解を求めています。
y_2(x)=z(x)y_1(x)とおいて計算を進め、2階の方程式を1階の方程式にするところまでは
大丈夫なようなので、x'の捉え方について述べます。
結論を言ってしまえば、x'はxの微分ではなくてただの積分変数です。
どういうことかといいますと

＞dX/X = - (P(x) + 2 y_1'/y_1) dx
＞log X = -∫(P(x') + 2 y_1'/y_1) dx' + C　　　　　←ここ

の右辺についてですが、これは私の手元にある教科書に書かれている、不定積分、原始関数のそれぞれの定義

「定積分の上端を変数と考えた時の関数 F(x)=∫[a→x] f(t)dt　をf(x)の不定積分という」(∫[a→x] はaからxまでの積分の意味。)
「区間I上で定義された関数f(x)に対し、F'(x)=f(x)をみたす関数F(x)をf(x)の原始関数という」
に基づく定理
「f(x)が区間I上で連続ならば、不定積分F(x)=∫[a→x] f(t)dt (aはIの中で1つ固定)はf(x)の原始関数である。逆に、f(x)の原始関数はF(x)+C (Cは定数)の形の関数しかない。 」

を右辺の「- (P(x) + 2 y_1'/y_1) 」の原始関数の計算に、忠実に用いた結果と思われます。
このとき、積分変数をtではなく、x'としているのです。y_1(x),y_1'(x)もy_1(x'),y_1'(x')です。ややこしいですね。
この原始関数の計算の結果として出る定数の部分は一般解の定数部分c_2に吸収されるため、基本解であるy_2の計算には関係しません。なので問題の解答では、
y_2 = y_1 ∫ 1/y_1(x)^2 exp (-∫P(x') dx') dx (←ここのy_1(x))
= x ∫ 1/x^2 exp (-∫(-1/x') dx') dx
= x ∫ 1/x^2 exp (ln x) dx (←ここのln x)
のようにxの関数のみを考えています。
P(x)については、No.1の回答者であるereserve67さんがおっしゃるようにP(x)=-1/xです。

定義・定理については:笠原 晧司著 「微分積分学」 サイエンス社　のp54,p55より引用しました。
また、階数低下法については:E・クライツィグ著 「常微分方程式」 培風館 p74,p75を参考にしました。

お礼

x'は積分変数と呼ばれているんですね。
いつものCは積分定数と知っていたんですが、これは知らなかったです。
また一つ勉強になりました。
ありがとうございました！

回答No.1

ereserve67

>式(3.9)
これがわかりません．想像するに以下のようです．

最初の方程式は線形ですが，係数が定数ではありません．一般に

（☆）y''+P(x)y'+Q(x)y=0（今の場合P(x)=-1/x,Q(x)=1/x^2)

のタイプの微分方程式の一般的解法を考えましょう．基本解がy_1,y_2であるとします．

(1)y_1''+P(x)y_1'+Q(x)y_1=0
(2)y_2''+P(x)y_2'+Q(x)y_2=0

(2)y_1-y_2(1)を計算すると

y_1y_2''+P(x)y_1y_2'+Q(x)y_1y_2=0
y_1''y_2+P(x)y_1'y_2+Q(x)y_1y_2=0
---------------------------
(y_1y_2'-y_1'y_2)'+P(x)(y_1y_2'-y_1'y_2)=0

ここで

y_1y_2'-y_1'y_2=W

とおくとWはWronskianと呼ばれます．

dW/dx=-P(x)W,dW/W=-P(x),log|W|=-∫P(x)dx+C

W(x)=W(x_0)e{∫_{x_0}^x{-P(t)}dt}

y_1またはy_2を定数倍したものも解であるから，その調整をしてW(x_0)=1とできる．すると

y_1y_2'-y_1'y_2=e^{∫_{x_0}^x{-P(t)}dt}

ここで同次形y_1y_2'-y_1'y_2=0の解はy_2'/y_2=y_1'/y_1,log|y_2|=log|y_1|+D,y_2=Ey_1だから定数変化法でy_2=E(x)y_1とおくと

y_1(E'(x)y_1+E(x))-E(x)y_1=e^{-∫^x{-P(t)}dt}
y_1^2E'(x)=e^{-∫^x{-P(t)}dt}
E'(x)=(1/y_1^2)e^{-∫^x{-P(t)}dt}
E(x)=∫(1/y_1^2)e^{-∫^x{-P(t)}dt}dx

こうして

y_2=y_1∫(1/y_1^2)e^{-∫^x{-P(t)}dt}dx

この後は掲載の計算と同様です．出所☆から確かに

P(x)=-1/x

です．y_2=xlog|x|と結果が出ているのでWronskianを計算してみると，y_2'=log|x|+1

W(x)=x(log|x|+1)-1・xlog|x|=x(x_0=1)

>　(d^2 z)/(dx^2) + (P(x) + 2 1/y_1 dy_1/dx ) dz/dx = 0
これはいまひとつ情報不足ではっきりしません．

回答できるのはここまでです．

お礼

分かりにくい質問に答えてくださって、大変ありがとうございます。
実は肝心のP(x') = (-1/x')の部分がまだよく分からないので、本の全文書いてみます：

2階斉次線形微分方程式の一般解

2階斉次線形微分方程式は、1次独立な基本解を2つ持つ。基本解の1つが求まれば、もう1つの基本解は次のようにして求めることができる。

解法10
2階の斉次線形微分方程式
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) + P(x) dy/dx + Q(x) y = 0
において、基本解の1つをy_1とすると、これと1次独立なもう1つの基本解は次式で与えられる。

　　　　　y_2 = y_1 ∫1/y_1^2 exp(-∫P(x')dx') dx　　　　　(3.9)

[解説]
(d^2 y)/(dx^2) + P(x) dy/dx + Q(x) y = 0の基本解y_1に対して、y=y_1*zが同じ微分方程式を満足するようにzを求める。

　　　　　dy/dx = z (dy_1/dx) + y_1 (dz/dx)
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = z (d^2 y_1)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + y_1 (d^2 z)/(dx^2)

であるから、y = y_1*zが元の微分方程式を満足するためには、次の式が成り立たなくてはならない。

　　　　　{ z (d^2 y_1)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + y_1 (d^2 z)/(dx^2) } + P(x) { z (dy_1/dx) + y_1 (dz/dx) } + Q(x)*y_1*z = 0

この式を整理すると、
　　　　　z { (d^2 y_1)/(dx^2) + P(x) (dy_1/dx) + Q(x) y_1 } + { y_1 (d^2 z)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + P(x) * y_1 (dz)/(dx) } = 0

y_1は元の微分方程式の解であるから、第1項は0に等しく、zが満たすべき方程式として次の式を得る。

　　　　　y_1 (d^2 z)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + P(x) * y_1 (dz)/(dx) = 0

これを変形して次の式を得る。

　　　　　(d^2 z)/(dx^2) + ( P(x) + 2 1/y_1 dy_1/dx ) dz/dx = 0

さらに、X(x) = dz/dx とおいて X(x) についての微分方程式を次のように解くことができる。

　　　　　dX/dx + (P(x) + 2 y_1'/y_1) X = 0
　　　　　dX/X = - (P(x) + 2 y_1'/y_1) dx
　　　　　log X = -∫(P(x') + 2 y_1'/y_1) dx' + C　　　　　←ここ
　　　　　　　　= -∫P(x') dx' - 2 log y_1 + C
　　　　　　　　= -∫P(x') dx' + log y_1^(-2) + C

すなわち、
　　　　　X = dz/dx
　　　　　　= (e^c)/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' )
　　　　　　= (C_2)/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' )

ここで、任意定数を C_2 = e^c とおいた。上式を積分することによってzは次の式によって定まる。

　　　　　z = C_2∫1/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' ) dx + C_1

すなわち、
　　　　　y = y_1*z
　　　　　　= C_2*y_1∫1/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' ) dx + C_1*y_1
となり、第1項目の
　　　　　y_2 = y_1∫1/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' ) dx
が y_1 と1次独立な解となる。
したがって、一般解は任意定数 c_1, c_2 を用いて
　　　　　y = c_1*y_1 + c_2*y_2
で与えられる。

問題
x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の一般解を求めよう。

前の例で示したように、x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の基本解の1つは y_1 = x である。これと1次独立なもう1つの基本解は、式(3.9)を用いて次のように求まる。

y_2 = y_1 ∫ 1/y_1^2 exp (-∫P(x') dx') dx
= x ∫ 1/x^2 exp (-∫(-1/x') dx') dx　　　　　　　← P(x') = (-1/x') ？
= x ∫ 1/x^2 exp (log x) dx
= x ∫ x/x^2 dx
= x log |x|

よって、一般解は
　　　　　y = c_1 * x + c_2 * x log |x|
となる。

・・・以上です。

上のような解説がある場合に、なぜ P(x') = (-1/x') になるのか教えていただけませんか？
しつこくて申し訳ないですが、どうかよろしくお願いします。

補足

ちなみに、「前の例で示したように、x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の基本解の1つは y_1 = x である。」については、この解法10の前に例題があって、そこで基本解の1つは y_1 = x であることが説明されています。