微分でd/dx (xp) = p+x dp/dx

質問

微分方程式　x (d^2 y/dx^2) + dy/dx = x^3 の一般解を求めよう。

dy/dx = p とおくと、微分方程式は次のようになる。
　　　　　x dp/dx + p = x^3
積の微分により、
　　　　　d/dx (xp) = p + x dp/dx　　　　　←
であるから、この微分方程式は次のように変形することができる。
　　　　　d/dx (xp) = x^3

・・・と続くのですが、この d/dx (xp) = p + x dp/dx はどうやって求めたのでしょうか？
積の微分というと、
　　　　　(f*g)' = f'g + fg'
ですよね？
x dp/dx + p = x^3 にはそもそも掛けている要素が無いことないですか？
dy/dx = p と置き換えをしているので、さらにややこしく思えます・・・。
どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

Knotopolog · ベストアンサー

(f*g)' ＝ f'g ＋ fg'

で

　f ＝ x
　g ＝ p

と置けば，

d/dx (xp) = p + x dp/dx

になります．

お礼

ああ、そういうことでしたか。
すっかり、
x dp/dx + p = x^3
から
d/dx (xp) = p + x dp/dx
が導かれたのかと思っていました。
ありがとうございました！

回答No.4

Knotopolog

＞微分方程式　x (d^2 y/dx^2) + dy/dx = x^3 の一般解を求めよう。

dy/dx ＝ p

とおくのは正しいですよ．その結果，問題の微分方程式が，

　　　　　d/dx (xp) ＝ x^3

となりましたね！　これを積分すればいいんです．すなわち，積分定数を c として，

　xp ＝ ∫x^3 dx ＋ c

　xp ＝ (1/4)x^4 ＋ c

　x(dy/dx ) ＝ (1/4)x^4 ＋ c

　dy/dx ＝ (1/4)x^3 ＋ c/x

これを，もう一度，積分すると，

　y ＝∫[ (1/4)x^3 ＋ c/x] dx ＋ h,　　（h は積分定数）

　y ＝ (x^4)/16 ＋ c log(x) ＋ h

これが，一般解です．

（検算）

　y ＝ (x^4)/16 ＋ c log(x) ＋ h
　dy/dx ＝ (4x^3)/16 ＋ c/x
　dy/dx ＝ (x^3)/4 ＋ c/x

もう一度，微分すると，

　d^2y/dx^2 ＝ (3x^2)/4 － c/x^2

　x d^2y/dx^2 ＝ (3x^3)/4 － c/x

　x d^2y/dx^2 ＋ dy/dx ＝ (3x^3)/4 － c/x ＋ (x^3)/4 ＋ c/x

　x d^2y/dx^2 ＋ dy/dx ＝ (3x^3)/4 ＋ (x^3)/4

　x d^2y/dx^2 ＋ dy/dx ＝ (4x^3)/4

　x d^2y/dx^2 ＋ dy/dx ＝ x^3

となるので，一般解，

　y ＝ (x^4)/16 ＋ c log(x) ＋ h

は，正しいことが確かめられました．

回答No.3

178-tall

> ... この微分方程式は次のように変形することができる。
>　　　　　d/dx (xp) = x^3
> ... と続くのですが、この d/dx (xp) = p + x dp/dx はどうやって求めたのでしょうか？

もとの方程式に x(y) の項が無いのでできる、ウマイ芸当だと思います。

>積の微分というと、
>　　　　　(f*g)' = f'g + fg'
>ですよね？
>x dp/dx + p = x^3 にはそもそも掛けている要素が無いことないですか？

左様。
d/dx (xp) = p + x dp/dx はそのまま、もとの方程式の左辺ですよネ。
掛けて (欠けて) いる要素、って何のこと？

お礼

ただの勘違いでした。
x dp/dx + p = x^3 から求めたと思っていましたので。
ありがとうございました。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

(xp)'=x'p+xp'
'がd/dxを表すと言う事を知っていれば、
x'p+xp'=p+x dp/dx
です。
右辺が元の式に現れているから、それをd/dx (xp)に書き換えただけです。

よく力学の最初のほうの数学の補助の例題に出てくるものですが…

お礼

ただの勘違いでした。
ありがとうございました。