常微分方程式の一般解についての質問です。

質問

常微分方程式の一般解についての質問です。

d^2y/dx^2+(dy/dx)^2+4*x*dy/dx+(2x)^2+2=0

の一般解を求める問題なんですが、y=exp(λx)とおくと、
(dy/dx)^2の項だけexp(λx)が残ってしまい特性方程式が立てられません。
こういった問題は、何か他のやり方があるのでしょうか??

この問題は解答がなく、参考書などで調べたのですが、この類の問題が載ってなかったので、
やり方を教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

y"+(y')^2+4xy'+(2x)^2+2=0.

をよ～くにらんでみましょう。
(2x)^2とかおかしくないですか？
4x^2ではなく(2x)^2って。
これは平方を作れっていってるんです。

y"+(y'+2x)+2=0.

z=y'+2xとすると
z'+z^2=0.
-z'/z^2=1.
1/z=x+C.
y'=-2x+1/(x+C).

後は簡単な積分です。

お礼

すばらしいですね。そこに気づけるかという問題なんですね。

ホントに鮮やかな回答です。
ありがとうございます。

回答No.3

inara1

ANo.2 さんの解法のほうがすっきりしていますね。

お礼

いろいろなやり方を知っていた方が力になるので、とても助かりました。

次数を下げて解いていくということも、まだちゃんと頭に定着していなかったので
ここでしっかりと定着させます。
ありがとうございました。

回答No.1

inara1

この微分方程式は y を含まないので、y' = p(x) とおくことで次数を下げることができます。
y' = p(x) なら、y'' = p' なので、問題の微分方程式は
　　　d^2y/dx^2 + (dy/dx)^2 + 4*x*dy/dx + (2*x)^2 + 2 = 0
　　　→ p' + p^2 + 4*x*p + (2*x)^2 + 2 = 0 --- (1)
と書き直すことができます。これは p に関する1階の微分方程式なので簡単に解けます。

式(1)を書き直すと
　　　p' + p^2 + 4*x*p + (2*x)^2 + 2 = p' + ( p + 2*x )^2 + 2 = 0 --- (2)
となります。ここで q(x) = p + 2*x と置くと
　　　p = q - 2*x、p' = q' - 2
なので式(2)は
　　　q' - 2 + q^2 + 2 = 0
　　　→ q^2 + q' = 0 --- (3)
となります。ここで、さらに r(x) = 1/q とおくと q = 1/r、q' = -r'/r^2 なので、式(3)は
　　　1/r^2 - r'/r^2 = 0
　　　→ r' = 1
　　　→ r = x + C1　（C1は定数）
となります。したがって
　　　q = 1/r = 1/( x + C1 )
　　　p = q - 2*x = 1/( x + C1 ) - 2*x
　　　y = ∫p dx = ln( x + C1 ) - x^2 + C2　（C1, C2は定数）