解決済み

微分方程式の解法について・・・・

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お礼率 75% (6/8)

 一次微分方程式では「y=ux」とおき、一般解などを求めていくものが多いように感じられるのですが、
以下のような問題を解くためにはどのように進めていけばいいのでしょうか?

以下の微分方程式の一般解を求めよ。また、u = 2y^2-6yとおくこと。
   dy/dx = -(2y^2-6y+4)/x(2y-3)

自分なりに du/dx = du/dy * dy/dx = ~ とし一般解を求めようと努力したのですが、どうしても途中で詰まってしまいます。
どなたか、お力をお貸しください。
また、最後に見難い記述しか出来ないことと、一方的な要望となってしまっていることをお詫び申し上げます

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1

ベストアンサー率 47% (366/775)

u=2y^2-6yと置き両辺をxで微分すると
  du/dx = 2(2y-3)(dy/dx)

右辺の2y-3が元の方程式の右辺の分母にあることに注目して、元の方程式を変形すると
  2(2y-3)(dy/dx) = -(2/x)*(2y^2-6y+4)

この式の両辺に
  u = 2y^2-6y
  du/dx = 2(2y-3)(dy/dx)
を代入すれば、yが消えx,uのみの方程式になります。
代入後の方程式は変数分離形なのですぐに解けるでしょう。
お礼コメント
lalala-21

お礼率 75% (6/8)

回答ありがとうございました。
どうすれば、こういう発想が出来るようになるんでしょう…

解いてみたところ、一応、一般解を求めることが出来ました
こういう場合、最終的に u=2y^2+6y を代入したあとに式を y= の形にして終了なのですか?
それとも、代入した段階で一般解と呼べるのでしょうか?

度重なる質問申し訳ありません
投稿日時 - 2008-07-12 20:24:00
Be MORE 7・12 OK-チップでイイコトはじまる

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 36% (99/269)

この式はdx/x=-((2y-3)/(2y^2-6y+4))dyのように変数分離ができる。すると∫dx/x=-∫dy(2y-3)/(2y^2-6y+4)右辺は、分母を微分すれば分子になるので、u = 2y^2-6yと置くのは自然な流れでしょう。よってdu=(4y-6)dyなので、(右辺)=-∫du/2(u+4)となって簡単にできます。
補足コメント
lalala-21

お礼率 75% (6/8)

回答ありがとうございます。
私は自然な流れに乗れていなかったようです。
合っているかどうかは定かではありませんが皆様のおかげで無事に解くことができましたありがとうございました。
投稿日時 - 2008-07-13 00:11:11
  • 回答No.2

ベストアンサー率 35% (130/362)

y=ux
は同次方程式の解法
お礼コメント
lalala-21

お礼率 75% (6/8)

そうですね、今まで同次形ばかり解いていたので、おかしな記述になってしまいました。
投稿日時 - 2008-07-13 00:13:54
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