微分方程式について

質問

2(x^3)y=p(x^4)+p^3
p=dy/dx

の特異解の求め方がわかりません。。
一般解はy=C(x^2+C^2)/2 C=Const
特異解はx^6+27y^3=0と解答には書いてあるのですが、
求める手順がわからないので、どなたかわかる方、ご教授おねがいします。

回答No.3

leige · ベストアンサー

再度確認したところ
2(x^3)y=p(x^4)+p^3(p=dy/dx)-(i)
について
y=C(x^2+C^2)/2は(i)の解になっていますが
x^6+27y^3=0(y=(-1/3)x^2)は(i)を満たさないようです。
問題か答えのどちらかに不備があるのかもしれません。

お礼

レスが遅くなって申し訳ないです。。
教えてくださった方法で他の問題をやってみたところ
うまく解くことができました。
ありがとうございます！！

回答No.2

leige

すみません。
クレーローの微分方程式になってなかったですね。

この場合は一般解をCで微分したものと
一般解を連立させてCを消去すれば
方程式の特異解が得られます。

回答No.1

leige

クレーロー(Clairaut) 型の微分方程式
y = xp + f(p) (dy/dx = p)
両辺をx で微分するとp = p + xdp/dx+f'(p)dp/dxとなり
dp/dx= 0またはx + f'(p) = 0が得られます。

dp/dx = 0 よりp = C よって(一般解)y = Cx + f(C)が得られます。

x+f'(p) = 0 の方は、はじめの方程式と連立してp を消去することによって
方程式の特異解が得られます。。