微分方程式

質問

x*(dy/dx)+y=x*e^x[y(1)=-2]
の一般解および[]内の条件を満たす解を教えてください。
お願いします。

回答No.1

Knotopolog · ベストアンサー

x*(dy/dx)＋y＝x*e^x

これは，１階線形常微分方程式なので，一般解の公式を用いて解けます．

変形すると，

dy/dx ＋y/x＝e^x

公式は，
-----------------------------------------------
１階線形常微分方程式　 dy/dx＋p(x)y ＋q(x)＝0　の一般解は
y＝{exp(－∫p(x)dx)}[c－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]
c は積分定数．
---------------------------------------------------
です．

p(x)＝1/x
q(x)＝－e^x

として，一般解を計算すると，

y＝{exp(－∫1/x dx)}[c－∫{(－e^x)・exp(∫1/x dx)} dx]

y＝{exp(－log(x))}[c－∫{(－e^x)・exp(log(x))} dx]

y＝{exp(log(x^(－1)))}[c－∫{(－e^x)・x} dx]

y＝{x^(－1)}[c－∫{(－e^x)・x} dx]

y＝{x^(－1)}[c＋∫{(e^x)・x} dx]

∫{(e^x)・x} dx＝x∫e^x dx－∫∫e^x dx dx

∫{(e^x)・x} dx＝xe^x －e^x

y＝{x^(－1)}[c＋xe^x －e^x ]

y ＝ c/x ＋(xe^x －e^x)/x

y ＝ c/x ＋e^x (x －1)/x

が一般解です．

y(1) ＝ －2　により，

－2 ＝ c/1 ＋e^1 (1 －1)/1

c ＝－2

y ＝ －2/x ＋e^x (x －1)/x

変形して，

y ＝(e^x (x －1)－2)/x

が答えです．

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

FT56F001

まず右辺
x*y'+y
を　ジッ　とにらみます。
すると，x*y'+1*y=x*y'+x'*y=(x*y)'となっています。

よって，(d/dx)(x*y)=x*exp(x)
この両辺を積分して，
x*y=∫x*exp(x) dx = exp(x)*(x-1)+C
よって，一般解は
y=(exp(x)*(x-1)+C)/x
です。後は初期条件x=1のときy=-2になるように積分定数Cを決めてください。

お礼

ありがとうございます。