助けてください（微分方程式）

質問

dy/dx=y・coth(x)+sinh(x)・cosh(x)

の一般解の求め方がどうしてもわかりません。

どなたかわかる方教えてください。

回答No.1

yamori2009 · ベストアンサー

y=sinh^2(x)とおくと
右辺=2sinh(x)cosh(x)
左辺=2sinh(x)cosh(x)
なので、特殊解です
y=sinh^2(x)+Asinh(x)とすると、
どのA（実数）に対しても右辺=左辺となり
これが一般解です

ちなみに思いつき方は
まずy=sinh^2(x)だったら右辺が簡単になると思ったことです
このときちょうど右辺がその微分と等しくなりました
その次にどこに任意定数を挟むかですが
係数としては入らないのでy=sinh^2(x)+f(x)と仮定したところ
f'(x)=f(x)coth(x)となりこれは変数分離形なので解いて
f(x)=Asinh(x)だとわかりました

お礼

お早い回答助かりました。
ありがとうございます！

回答No.2

Mr_Holland

＃１さんのように特殊解がすぐに思いつけばその方がスマートですが、もし浮かばないときは、次のように地道に解いていく方法もあります。

１）　非同次微分方程式を同次にして、変数分離で解く。
２）　得られた解の定数を変数に変化させて、一般解を導く。（定数変化法）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E4.B8.80.E9.9A.8E.E7.B7.9A.E5.9E.8B.E5.B8.B8.E5.BE.AE.E5.88.86.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E3.81.AE.E4.B8.80.E8.88.AC.E5.9E.8B.E3.81.A8.E3.81.9D.E3.81.AE.E4.B8.80.E8.88.AC.E8.A7.A3

１）　dy/dx＝y cosh(x)　の解は　y＝C sinh(x)　（Ｃ：積分定数）
２）　Ｃをｘの関数u(x)に置き換える。
　　y＝u sinh(x)、　dy/dx＝du/dx sinh(x)+u cosh(x)
　これを元の微分方程式に代入すると、
　　du/dx＝cosh(x)
が得られますので、ここから
　　u＝sinh(x)+Ａ　（Ａ：積分定数）
となります。
　あとは、これを１）のＣに代入すれば
　　y＝{sinh(x)}^2+A sinh(x)
という＃１さんと同じ解が得られます。

お礼

なんかこれならちょっとできそうです。
詳しい解説ありがとうございました！