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微分方程式に関する問題です。

2009/08/16 20:49

(dy/dx)^2 + 2(ytan(x))dy/dx = f(y) (*) (1)f(y) = 0　とする。y = (cos x)^2 は、方程式(x)の一つの解である事を証明せよ。 (2)因数分解を用いて、f(y) = 0のときの一般解を求めよ。 ********************************************* という問題です。 (1)についてはできましたが、(2)でどのように解けばよいのか分かりません。お願いします。

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数学・算数
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Tacosan
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2009/08/16 23:18 回答No.1

微妙なところはあるけど (dy/dx) (dy/dx + 2ytan x) = 0 とか?

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（ｙ＋３ｘ）ｄＸ＋（ｘ＋1）ｄｙ＝０この微分方程式の一般解を求めたいのですか、（ｙ＋３ｘ）ｄＸはｙがあるので積分できないし、（ｘ＋1）ｄｙはｘがあるので積分できないです。どのように解けばいいですか？
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　一次微分方程式では「y=ux」とおき、一般解などを求めていくものが多いように感じられるのですが、以下のような問題を解くためにはどのように進めていけばいいのでしょうか？以下の微分方程式の一般解を求めよ。また、u = 2y^2-6yとおくこと。　　　dy/dx = -(2y^2-6y+4)/x(2y-3) 自分なりに　du/dx = du/dy * dy/dx = ～　とし一般解を求めようと努力したのですが、どうしても途中で詰まってしまいます。どなたか、お力をお貸しください。また、最後に見難い記述しか出来ないことと、一方的な要望となってしまっていることをお詫び申し上げます
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dy/dx=2xy+x^3y^2　解：1/y=1/2(1-x^2)+Ce^(-x^2) の問題なのですが、ベルヌーイの方程式のやり方で解いていった後、 du/dx=-2xu-x^3　　[u=1/y du/dx=-1/y^2(dy/dx)] になり、線形微分方程式で解いていくと、 u=e^(-∫2xdx)(∫e^(∫2xdx)(-x^3)+c) となり、∫e^(∫2xdx)(-x^3)を部分積分の形で計算していくと、解と異なる答えがでてきてしまいます。どこが間違っているのでしょうか。
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以下の微分方程式の問題について不明点があります。与式：y' = 1-y^2 の一般解ですが、私が解いたところ {1/(1-y^2)}y' = 1　〔変数分離〕 ∫{1/(1-y^2)}dy = ∫1dx　〔両辺をxで積分〕 (1/2)∫{1/(1+y) + 1/(1-y)}dy = ∫1dx　〔左辺を部分分数分解〕 (1/2){ln|1+y| + ln|1-y|} + c1 = x + c2　〔積分実行〕 ln|1-y^2| = 2x + c3　〔整理する〕 1-y^2 = c*e^(2x)　〔yでまとめる〕 y^2 = c*e^(2x)+1　〔一般解〕となりました。しかし、解答を見てみると　y = {(1+c*e^(-2x))/(1-c*e^(-2x))} となっていて私が出した答えとかなり違っています。私の解答のどこが間違いが自分ではわかりせん。間違っている点をご指摘できる方がいらっしゃいましたら是非お願いしたいと思います。
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f(x)=∫_0^∞(exp(-t^2)cos(xt))dtを定義する y=f(x)が微分方程式 2(dy/dx)+xy=0 の解を満たすことを示せ。という問題なのですが、これはまずf(x)の式の∫を外すのでしょうか？そうでなければどうやってf(x)の中にあるxだけを取り出すのでしょうか・・・？
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全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。微分方程式　ｙ’＋２ｙ（２乗）－２ｙ＝０　について問１～問３について答えよ。　問１　問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)～(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。　(1)　∫１／ｙ（ｙ－１）ｄｙ＝∫２ｄｘ　(2)　∫１／ｙ（１－ｙ）ｄｙ＝∫２ｄｘ　(3)　∫１／ｙ（ｙ＋１）ｄｙ＝∫２ｄｘ　(4)　∫１／ｙ（ｙ－１）ｄｙ＝∫１／２ｄｘ　(5)　(1)～(4)に正解はない。　問２　問題の微分方程式の解として、次の(1)～(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。　(1)　一般解ｙ＝１±√１－Ｃｅ（２ｘ乗）／２　（Ｃは任意定数）　(2)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）　(3)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）と特異解ｙ＝１　(4)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）と特異解ｙ＝０　(5)　(1)～(4)に正解はない。　問３問題の微分方程式の解ｙ＝ｙ（ｘ）で、ｙ（０）＝１／２をみたすものがｙ（ｘ）＝２／３となるｘとして次の(1)～(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。　(1)　１／２log２　(2)　３／２　(3)　log６　(4)　１／６　(5)　(1)～(4)に正解はない。　以上、よろしくお願いいたします。
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常微分方程式の一般解についての質問です。 d^2y/dx^2+(dy/dx)^2+4*x*dy/dx+(2x)^2+2=0 の一般解を求める問題なんですが、y=exp(λx)とおくと、 (dy/dx)^2の項だけexp(λx)が残ってしまい特性方程式が立てられません。こういった問題は、何か他のやり方があるのでしょうか?? この問題は解答がなく、参考書などで調べたのですが、この類の問題が載ってなかったので、やり方を教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
微分方程式

第1問 dy 　　y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい） dx 　　 2xy 第2問一階線形微分方程式　 dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。また、その時の一般解を求めなさい

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