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f(x)が微分方程式を満たすかどうか・・・
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y=f(x)=∫_0^∞ [exp(-t^2)cos(xt)] dt dy/dx=f'(x)=∫_0^∞(exp(-t^2){cos(xt)}')dt =∫_0^∞ [exp(-t^2){-t*sin(xt)}]dt =∫_0^∞ [(-t)exp(-t^2)sin(xt)]dt ↓部分積分 =[(1/2)exp(-t^2)sin(xt)]_0^∞ -∫_0^∞ [(1/2)exp(-t^2){sin(xt)}']dt =0-∫_0^∞ [(1/2)exp(-t^2){sin(xt)}']dt =-∫_0^∞ [(1/2)exp(-t^2){x cos(xt)}]dt =-(x/2)∫_0^∞ [exp(-t^2)cos(xt)]dt =-xy/2 となります。 式を整理すれば解の式になりますね。
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∫の中のcos(xt)はそのまま微分してよかったのですね^^ とても分かりやすい説明をありがとうございました!