f(x)が微分方程式を満たすかどうか・・・

質問

f(x)=∫_0^∞(exp(-t^2)cos(xt))dtを定義する
y=f(x)が微分方程式
2(dy/dx)+xy=0
の解を満たすことを示せ。

という問題なのですが、これはまずf(x)の式の∫を外すのでしょうか？
そうでなければどうやってf(x)の中にあるxだけを取り出すのでしょうか・・・？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

y=f(x)=∫_0^∞ [exp(-t^2)cos(xt)] dt
dy/dx=f'(x)=∫_0^∞(exp(-t^2){cos(xt)}')dt
=∫_0^∞ [exp(-t^2){-t*sin(xt)}]dt
=∫_0^∞ [(-t)exp(-t^2)sin(xt)]dt ↓部分積分
=[(1/2)exp(-t^2)sin(xt)]_0^∞ -∫_0^∞ [(1/2)exp(-t^2){sin(xt)}']dt
=0-∫_0^∞ [(1/2)exp(-t^2){sin(xt)}']dt
=-∫_0^∞ [(1/2)exp(-t^2){x cos(xt)}]dt
=-(x/2)∫_0^∞ [exp(-t^2)cos(xt)]dt
=-xy/2
となります。
式を整理すれば解の式になりますね。

お礼

∫の中のcos(xt)はそのまま微分してよかったのですね＾＾
とても分かりやすい説明をありがとうございました！