ある微分方程式の問題について

質問

以下の微分方程式の問題について不明点があります。
与式：y' = 1-y^2 の一般解ですが、私が解いたところ

{1/(1-y^2)}y' = 1　〔変数分離〕
∫{1/(1-y^2)}dy = ∫1dx　〔両辺をxで積分〕
(1/2)∫{1/(1+y) + 1/(1-y)}dy = ∫1dx　〔左辺を部分分数分解〕
(1/2){ln|1+y| + ln|1-y|} + c1 = x + c2　〔積分実行〕
ln|1-y^2| = 2x + c3　〔整理する〕
1-y^2 = c*e^(2x)　〔yでまとめる〕
y^2 = c*e^(2x)+1　〔一般解〕

となりました。しかし、解答を見てみると　y = {(1+c*e^(-2x))/(1-c*e^(-2x))}
となっていて私が出した答えとかなり違っています。

私の解答のどこが間違いが自分ではわかりせん。
間違っている点をご指摘できる方がいらっしゃいましたら是非お願いしたいと思います。

回答No.4

alice_38 · ベストアンサー

本の解答のほうは y = -1 (定数関数) が、
貴方の再計算では y = 1 (定数関数) が、
解から漏れてしまっています。

漏れた解は、どちらも
計算の途中で 1/(1-y~2) を考えたときに
無視してしまったもので、
本当は、場合分けをして残さなければ
いけなかったものです。

どちらの解答も、不完全です。

お礼

ご回答ありがとうございます。よくわかりませんが解答が一致しないというのがわかりません。
ではもし場合分けした場合、模範解答としてはどうなるのでしょうか？
お手数ですが宜しくお願いします。

回答No.6

alice_38

No.6 (3) の分子分母を e~x で割って、
定数を A=P+Q, B=P-Q で置き換えると、
何が起こる？

回答No.5

alice_38

(1) 本の解答、または y = -1。
(2) 貴方の再計算、または y = 1。
(3) y = (Ae~(2x)+B)/(Ae~(2x)-B) ただし A,B は定数。
…どれでも、内容は同じ。
書き方は、他にもたくさんある。

お礼

なんとなくわかったような気がします。ありがとうございました。

回答No.3

LightOKOK

>y = {c*e^(2x) - 1}/{c*e^(2x) + 1}
>となり、未だ解答と微妙に違っているのですがどこが間違いかわかりますでしょうか？

>解答を見てみると　y = {(1+c*e^(-2x))/(1-c*e^(-2x))}

あなたの解の分子分母に、(1/C)e^(-2x)　を掛けて見てください。
その後、(1/C)を、あらためて、C　と書き直せば同じになります。
不定積分の場合には、定数分の違いが入り込みますから、見かけ上
異なる式になることもあります。

お礼

ご回答ありがとうございます。LightOKOKさんのおっしゃる通りしてみたのですが
y = {1 - c*e^(-2x)}/{1 + c*e^(-2x)} となり解答とは微妙に違う気がするのですがご確認いただけますでしょうか？

回答No.2

alice_38

間違っている箇所は、
∫dy/(1-y) の符号です。

お礼

ご指摘ありがとうございました。それを元に計算し直したところ
(1/2){ln|1+y|-ln|1-y|} + c1 = x + c2　〔積分実行〕
ln|(1+y)/(1-y)| = 2x + c3　〔整理する〕
(1+y)/(1-y) = c*e^(2x)
y = {c*e^(2x) - 1}/{c*e^(2x) + 1}
となり、未だ解答と微妙に違っているのですがどこが間違いかわかりますでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

＞（1/2)∫{1/(1+y) + 1/(1-y)}dy = ∫1dx　〔左辺を部分分数分解〕
＞ (1/2){ln|1+y| + ln|1-y|} + c1 = x + c2　〔積分実行〕

∫1/(1-y) dyの計算が違っています。
yの前に負号があるので、注意が必要です。

お礼

ご指摘ありがとうございました。それを元に計算し直したところ
(1/2){ln|1+y|-ln|1-y|} + c1 = x + c2　〔積分実行〕
ln|(1+y)/(1-y)| = 2x + c3　〔整理する〕
(1+y)/(1-y) = c*e^(2x)
y = {c*e^(2x) - 1}/{c*e^(2x) + 1}
となり、未だ解答と微妙に違っているのですがどこが間違いかわかりますでしょうか？