Clairantの微分方程式

質問

y = xp + p - p^2
一般解：y = cx + c - c^2
特異解：y = (x+1)^2 / 4
で合っていますでしょうか。

p^3 * x - p^2 * y - 1 = 0 という問題で、
まず、両辺をp^2で割って整理して、y = xp - 1/p^2　となりました。
∴一般解はy = cx - 1/c^2

特異解なのですが、x + 2/p^3 = 0 より
-p^3 * x = 0
p^3 = -2/x
よって
p = (-2/x)^(1/3)
p^2 = (-2/x)^(2/3)
となり、与式に代入して
y = -3 / (2/x)^(2/3) と導き出しましたが、合っていますでしょうか。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

gooさんが(｀_´メ)ですがいきがかりで続けます。
＞＞p = ±(-2/x)^(1/3)　としなくても良いのでしょうか。
±がでるのは二乗などです。上の式を三乗すればマイナスが変なのはわかります。簡単なx^3=-8の例で考えてみてください。
どうせならp = －(2/x)^(1/3)としたほうがわかりよいかも？

お礼

ありがとうございました。

補足

p = －(2/x)^(1/3)　という風にマイナスを出しても大丈夫なんですか＾＾；
ルートの中にあるマイナスを出しても良いのかわからなかったので・・・
なぜ出しても良いのでしょうか。

回答No.1

endlessriver

Gooです

お礼

ありがとうございました。

補足

p^3 = -2/x　を
p = (-2/x)^(1/3)　とする場合、
p = ±(-2/x)^(1/3)　としなくても良いのでしょうか。

いつもご回答感謝しています。