微分方程式について お願いします（＞＜）

質問

課題がでたのですが、この５問がどうしても解けません。来週提出なので困っています。
この５問で分かるものがあれば教えて頂きたいです（。。）
お願いします。

（１）（１+x²）ｙ〝+ ｘｙ′＝５ｘ

（２）ｐ³＝ｙ⁴（ｙ + ｘｐ）（一般解および特異解）

（３）（２ｘｙ－cosx)dx + (x² -１)dy=0

（４）　ｙ〝+ ｙ′+ y＝ ｘ + (eのｘ乗)

（５）Ｐ，Ｑが ｘ の関数のとき、 ｙ′+ P(x)y = Q(x)yⁿ（ｎ≠0,1)は線形微分方程式であることを示せ。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

問題（５）について：

微分方程式 ｙ'＋ P(x)y ＝ Q(x)y^n の両辺に 1/y^n を掛けると，

ｙ'/y^n＋ P(x)(y/y^n) ＝ Q(x)
ｙ'/y^n＋ P(x)(1/y^{n-1}) ＝ Q(x)
ｙ'*y^[－n]＋ P(x)*y^[1-n] ＝ Q(x)
ここで，
z＝y^[1-n] とおき，この両辺を x で微分すると，
z'＝(1-n)y'y^[-n] となります．この式から
y'y^[-n] ＝z'/(1-n) なので，この式と z＝y^[1-n] を
ｙ'*y^[－n]＋ P(x)*y^[1-n] ＝ Q(x)
に入れると，

z'/(1-n)＋ P(x)z ＝ Q(x)

z' ＋ (1-n)P(x)z ＝ (1-n)Q(x)

となり，z に関する１階線形常微分方程式となります．
以上により（５）が線形微分方程式であることが示せました．

お礼

ありがとうございます(;_;)

本当に助かりました!

他の問題ももう少し調べてみます!

式だけのせて質問したこと、本当に申し訳ありません。次からは気をつけます(^^)

丁寧に応えて頂き、ありがとうございました(;_;)

回答No.4

yosinabe

学生さんですか？

すぐに課題の答えを人に聞くのではなく、自分でも図書館に行くなどして課題の答えを見つけるよう心がけてみて下さい。

（３）なんかは完全微分方程式なので公式通りに計算すれば簡単に解ける問題だと思います。

社会に出たら分からないことを人に聞く前にまず自分で調べることが重要になる時があると思います。

社会に出てからの事も考慮して、自分で答えを導いていけるようになって欲しいです。

説教くさくなってしまいすいませんm(_ _)m

(４)の解き方を以下に示しておきます。

・特性方程式の解を求めれば、余関数が分かる
・ｙ＝Ax+Bを代入すればA,Bがわかる
・ｙ＝Ce^xを代入すればCがわかる
・そうすると、一般解が求まる

この流れで解けると思います。

お礼

ありがとうございます。

すぐに諦めずに調べてみますね(;_;)
今テスト期間で時間がなく焦ってました。こんな質問の仕方をして申し訳ありませんでした。

親切にありがとうございました(^^)

回答No.2

Knotopolog

（５）の微分方程式 ｙ'＋ P(x)y ＝ Q(x)y^n　（ｎ≠0,1）は，線形微分方程式ではありません．非線形常微分方程式のうちの，特に，「ベルヌーイ型の微分方程式」と呼ばれているものです．

回答No.1

Yodo-gawa

丸投げかよｗｗｗ
少しは試行錯誤しましょう。