微分方程式

質問

2xy(dy/dx)+x^2-y^2=0
という微分方程式を完全微分形として解きたいのですが、うまくできません。
まず、(∂/∂x)2xy=2yで、(∂/∂y)(x^2-y^2)=-2yなので符号が違うため完全微分形にならないのです。。。
どなたかわかりやすくお願いします。

回答No.3

muturajcp

その微分方程式
2xy(dy/dx)+x^2-y^2=0
の両辺をx^2で割れば
(2y/x)(dy/dx)+1-y^2/x^2=0
(∂/∂x)(2y/x)=-2y/x^2
(∂/∂y)(1-y^2/x^2)=-2y/x^2
なので
完全微分形になります
が
完全微分形の解法は#1の方の通りなので
同次形で解きます
2xyy'=y^2-x^2
y'=(1/2){(y/x)-(x/y)}
同次形だから
y/x=v
とすると
y=vx
y'=v+xv'
2xxv(v+xv')=vvxx-xx
2v(v+xv')=vv-1
2xvv'=-(vv+1)
2vv'/(vv+1)=-1/x
∫{2vv'/(vv+1)}dx=-∫(1/x)dx
log(vv+1)=-logx+c'
vv+1=c/x
1+(y/x)^2=c/x
x^2+y^2=cx
(x-C)^2+y^2=C^2

回答No.2

info222_

No.1です。

>このやり方はなんと呼ばれるやり方でしょうか？
完全微分法です。すなわち元の微分方程式を完全微分の形
d(f(x,y))=0
に変形すれば、微分方程式の解は
積分して
　f(x,y)=c (cは任意定数）
となります。

>完全微分法でしょうか？
そのとおり！
d(f(x,y))　を完全微分と呼びます。

完全微分法は、微分方程式を
　(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=d(f(x,y))=0
d(f(x,y))=0
の形に変形し、解 f(x,y)=c を求める方法です。

　d((y^2/x) +x)=0
これが完全微分法の方程式の形です。

お礼

たびたびありがとうございます。
ただ、質問文に書いてあるように、(d/dx)2xy≠(d/dy)(x^2-y^2)なのでできないと思ったのですが、どうなのでしょうか。(教科書にはP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0のとき、dP/dy=dQ/dxが必要だと書かれています)
符号が違うだけなときは対処法があるのでしょうか。

回答No.1

info222_

2xy(dy/dx)+x^2-y^2=0

2xyy'-y^2=-x^2

(xd(y^2)-y^2dx)/x^2=-dx

d(y^2/x)=-dx

d((y^2/x) +x)=0

y^2/x +x =c (c:任意定数)
y^2=cx-x^2 …(答)

お礼

回答ありがとうございます。
すみません、このやり方はなんと呼ばれるやり方でしょうか？
完全微分法でしょうか？