微分方程式

質問

微分方程式というものだったか
x^2dy/dx -y^2 =xyを解け
答えx=ce^(-x/y)
という問題なのですが
ce?などなぜ出てくるのかがさっぱりわかりません。
勉強不足なだけでしょうか・・;
なぜこのような答えになるかわかる方、
教えていただけないでしょうか

回答No.2

ykskhgaki · ベストアンサー

次のような解法があります。

x^2dy/dx - y^2 = xy
x ≠ 0 のとき、両辺を x で割って移項すると、

dy/dx = (y/x)^2 + y/x ・・・ (1)

ここで、 y/x = u と置くと y = xu
両辺を x で微分する
y' = xu' + u ← (y' = dy/dx, u' = du/dx)
(1)式に代入して変形すると
xu' + u = u^2 + u → xu' = u^2
両辺を xu^2 で割ると
1/(u^2)du/dx = 1/x

∫u^(-2)du = ∫(1/x)dx
-1/u = logx + C' → または　-1/u = logC'x (C'は任意の定数)

u を元に戻すと
-x/y = logC'x

C'x = e^(-x/y) → x = Ce^(-x/y) ← (C = 1/C' と置き直す）
または
y = -x/log(Cx) ← (C = C' と置き直す）

お礼

時間がとれず回答が送れて申し訳ありません

詳しい説明ありがとうございました。

その後、自分でも解いてみたのですができずに放置してしまってました。

今からまた解きますので参考にさせていただきます！

回答No.3

ykskhgaki

#2 です。
x ≠ 0 のとき、両辺を x で割って移項すると、　←　誤
x ≠ 0 のとき、両辺を x^2 で割って移項すると、　←　正

回答No.1

yasei

単なる勉強不足と言いますか、勉強を一切していないレベルですね。
ceではなく、cは任意定数です。

解がその形になるのは解法があります。両辺をy^n(nはyの最高次数)で割り、例えばz=y^(n-1)とおいて、あとは一般の斉次型として解きます。