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常微分方程式の解
大学院試験の過去問題をやっていましたが、解答がないため質問させていただきます。 関数ｙは次の常微分方程式 x+2ayy'-ax(y')^2=0 を満足する。ただしaは0でない定数とする。以下の問いに答えよ。 （１）与式をxで微分せよ （２）問（１）の結果を用いて、与式よりyを消去せよ （３）a=2のときの一般解を求めよ （４）a=-2のときの一般解および特異解を求めよ 以下、間違ってるかもしれませんが、自力で出来たところまで記述 （１）1+2a(y')^2+2ay(y'')-a(y')^2-2ax(y')(y'')=0 よって 1+a(y')^2+2ay(y'')-2ax(y')(y'')=0 （２）上の式を2ay=・・・と整理し与式に代入しましたがその後の操作が分かりません （３）、（４）手付かずです。 （２）が解ければ自力で解ける可能性もあると思っています。
- karimellow
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x+2ayy'-ax(y')^2=0 1+2ayy''+ay'^2-2axy'y''=0 y=(axy'^2-x)/(2ay') y=-(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'') (axy'^2-x)/(2ay')+(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')=0 通分して分子=0とすると、 [分母は2ay'y''] (y'-xy'')(ay'^2+1)=0 (y'/x)=2C y'=2Cx y=Cx^2+D もとの式に代入して (4aCD+1)x=0 CD=-1/(4a) a=2のとき CD=-1/8 y=Cx^2-1/(8C) (y'-xy'')(2y'^2+1)=0 a=-2のとき CD=1/8 y=Cx^2+1/(8C) 特異解 は分母=0から y'=0は解でない y''=0のとき y'=C y=Cx+D もとの式に代入して x+2ayC-axC^2=0 2aCD+(aC^2+1)x=0 D=0 C=±√(-１/a) したがって、 a=-2のときは特異解 があって y=±x/√2
求めた 2ay=・・・を元の式に代入すればよいのでは？
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