• ベストアンサー
  • 困ってます

微分方程式

微分方程式y''-(y')^2/y +y=0の解で初期条件y(0)=1,y'(0)=0を満たすものを y=y(x)とする。以下の問に答えなさい (1)z=logyとおくとき、z=z(x)の満たす微分方程式を求めなさい。 y=e^zとおいて、y''-(y')^2/y +y=0に代入するだけでいいと思います。 (2)yをもとめなさい。 y'=p y''=p・dp/dyとおきます。 dp/dy=p/y-y/p    =(p^2-y^2)/gy 同時形を用いて u=p/yとおいて、p'=u'y+u 変数微分法を用いて u'y=-1/u ∫udu=-∫dy 1/2u^2=-logy+C となってさらに続くのですがここからよくわかりません。 そして、この手法はあっているでしょうか?? よろしくお願いしますm(__)m

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数73
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • inara
  • ベストアンサー率72% (293/404)

(1)ができれば(2)は簡単じゃないですか。 (1)微分方程式 y''- (y')^2/y + y = 0 で、y = e^z とおけば、    y' = e^z*z'、y'' = e^z*( z' )^2 + e^z*z''    だから、微分方程式は    e^z*( z' )^2 + e^z*z'' - ( e^z*z' )^2/e^z + e^z = 0    両辺をe^z (<>0)で割ると    ( z' )^2 + z'' - ( z' )^2 + 1 = 0    → z'' +1 = 0 (2)上の結果から z'' = -1 → z' = -x + C1 → z = -x^2/2 + C1*x + C2    y = e^z だから、y = e^( -x^2/2 + C1*x + C2 )    あとは、初期条件 y(0)=1,y'(0)=0 から、定数 C1, C2 を求めれば良いわけです。    

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信ありがとうございます。 (1)の解すらもとめることができてませんでした。 わかりやすくありがとうございました。

関連するQ&A

  • 微分方程式

    dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に対しての次の問のとき方について教えてください (1)x^a が微分方程式の解となるように実数aを求めよ (2) a を(1)で求めたものとする。y=x^a+zを微分方程式に代入して,zの満たす微分方程式を求めよ。 (3)(2)で求めたzの微分方程式を解いて,もとの微分方程式の解yを求めよ (1)についてはa=2という答えだと思うのですが,(2)以降の解き方の手順がわかりません。解法がわかるのであればよろしくおねがいします。

  • 微分方程式の問題(2階)

    yy"-(y')^2=y^2logy 解:logy=Ae^(x)+Be^(-x) が解けなくて困っています。 p=y'として、 d^2y/dx^2=dp/dx=dp/dy・dy/dx=p・dp/dy 問題式に代入して、 yp(dp/dy)-p^2=y^2logy.....(1) p(dp/dy)-p^2/y=ylogy......(2)1/yを両辺にかける pとyについてのベルヌーイ形なので u=p^2として du/dy=2p・dp/dy (2)に代入して、 1/2(du/dy)-u/y=ylogy.....(3) 線形微分方程式になるので、 u=exp^(-∫-2/y){∫exp^(-∫-2/y)・(2ylogy)+C}.....(4) これを解いていくと、 u=p^2=y^2{(logy)^2+C}.......(5) p=y√[(logy)^2+C].........(6) とってしまい、以降が解けません。 (解き方自体が間違っているかもしれません) どなたか教えてください。

  • 微分方程式に関する問題です。

    (x^2){(d^2)y/d(x^2)} - x(dy/dx) + y = x^3    (*) ********************************************************* (1)y = xφ(x)が微分方程式(*)の解であるとき、φのみたす微分方程式を求めよ。 ********************************************************* y = xφ(x)からy' , y''を計算して代入し、 φ''(x) = x/2 となりました。(答えの書き方はこれでいいのか分かりません。) ********************************************************* (2)φ'(x)を求めよ。 ********************************************************* (1)の答えの両辺を積分して φ'(x) = (x^2)/4 + C となりました。 ********************************************************* (3)微分方程式(*)の一般解を求めよ。 ********************************************************* (3)のとき方が分かりません。 どのようにして解いていけばいいのでしょうか? よろしくお願いします。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

えっと.... (1) で z の微分方程式が得られるので, それを解けばいいような気がするんだけど.... 違うのかなぁ?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信ありがとうございます。 確かにそうですね! 自分、意味不明なことしてました。。

関連するQ&A

  • 再び微分方程式の質問(2)です。

    全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。 微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 について問1~問3について答えよ。  問1 問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。  (1) ∫1/y(y-1)dy=∫2dx  (2) ∫1/y(1-y)dy=∫2dx  (3) ∫1/y(y+1)dy=∫2dx  (4) ∫1/y(y-1)dy=∫1/2dx  (5) (1)~(4)に正解はない。  問2 問題の微分方程式の解として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。  (1) 一般解y=1±√1-Ce(2x乗)/2 (Cは任意定数)  (2) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)  (3) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=1  (4) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=0  (5) (1)~(4)に正解はない。  問3 問題の微分方程式の解y=y(x)で、y(0)=1/2をみたすものがy(x)=2/3となるxとして次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。  (1) 1/2log2  (2) 3/2  (3) log6  (4) 1/6  (5) (1)~(4)に正解はない。  以上、よろしくお願いいたします。

  • 非線形微分方程式の問題について

    微分方程式の問題について質問させていただきます。 [問題] 以下の微分方程式を解け。 dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y) ただし、x=0のときy=0とする。 非線形なのでp=dy/dxとおいて、解いたのですが、解として (1) y = 1 + x - e^-x (2) y = (1/2)x^2 の二つが出てきました。しかし、(1)の方は微分して与式に代入しても、 式を満たさなかったのでですが、これらの解は合っているでしょうか? おそらく、(1)は間違っていると思うのですが、p=dy/dxとおいて解くと、なぜかこのような解が出てきてしまいました。 回答よろしくお願いいたします。

  • 微分方程式について

    微分方程式について。 yやdy/dxの形ならば解けるのですが ちょっと変わった形になると解けずに困っております。 回答お願いします。 1 未知関数x(t),y(t)に関する微分方程式 x´(t)=y(t), y´(t)=-x(t)を 初期条件x(0)=a, y(0)=bの下で解け。 2 x=x(t)を変数tのC^∞級関数とする。 このとき、 d^2x/dt^2 +(dx/dt)^2 -4=0 を解け。 3 tの関数x(t)が次の微分方程式を満たすとする x´+x^2+a(t)x+b(t)=0 ただしx´=dx/dtである。 ・x(t)=u´(t)/u(t)のとき、関数u(t)の満たす微分方程式を求めよ。 ・微分方程式 x´=x(1-x)の一般解を求めよ。 長いですが回答お願いします

  • 微分方程式

    微分方程式 dy/dx-2xy=2xy~2 について。 (1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ (2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ (3)yの一般解および特殊解を求めよ という問題があります。 これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか よく分からないので詳しく教えてください。

  • 非線形微分方程式の問題です

    非線形微分方程式について質問です。 とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。 y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2 この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。 非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。 私はこの問を解けませんでした。 解くことは可能なのでしょうか。 お願いします。

  • 2階微分方程式について

    yy"+(y')^2+1=0 解:(x+A)^2+y^2=B^2 の解き方がわかりません。 dy/dx=pとして d^2y/dx^2=dp/dx=dy/dx・dp/dy=p(dp/dy) . yp(dp/dy)+p^2+1=0......(1)問題式にd^2y/dx^2、dy/dx=pを代入する。 p(dp/dy)+p^2/y+y.......(2)両辺に1/yをかける。 . ベルヌーイ形なので,u=p^2 (du/dy=2p・dp/dy)を代入して、 1/2du/dy+u/y=-y.....(3) . uとyの、線形微分方程式として解いて、 u=p^2=1/y^2(-1/2・y^4+C)......(4) . p=±1/y√(-1/2・y^4+C)........(5) この後(5)を積分して解が出ると思うのですが、 (それ以前に考え方自体が間違っているかもしれませんが) 右辺の積分の仕方がわからず解けなくて困っています。 どなたか教えてください

  • (x-c)^2+y^2=c^2に直交する曲線族の微分方程式で

    初学者です。 [問] x-y平面上の(原点でy軸に接する)円(x-c)^2+y^2=c^2の族Fを考える。 このFに直交する曲線族Gによって満足する微分方程式を求めよ。 を解いています。 [解] Fの接線の傾きを求めると (x-c)^2+y^2=c^2を微分して 2(x-c)+2y(dy/dx)=0 dy/dx=(c-x)/y …(*) で FにGが直交するのだから Gの接線の傾きは(c-x)/yの逆数の-1倍なので y/(x-c) よって、Gについての微分方程式は dy/dx=y/(x-c) となると思うのですが答えには (*)にc=(x^2+y^2)/2xを代入してます。 どうしてこれを代入しないといけないのでしょうか? 私のは間違いなのでしょうか?

  • 解けませんこの微分方程式

    いつもお世話になっています。 独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今 y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0 という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい 線形結合の解yをy=k+1/xとおいて(kが一般解です)代入し、 kとxの微分方程式を作りました。 果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。 わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。

  • 微分方程式に関する問題です。

     dy/dx = (a+by)(c(x)+d(x)y) ここで、a,bは定数、c(x),d(x)はxの区間Iで連続とする。 (1)この微分方程式は、変数変換y = 1/b(1/z - a)により次の線形微分方程式に変換されるという。 dz/dx = f(x)z + g(x) をf(x),g(x)をa,b,c(x),d(x)を用いて表せ。 (2)a = b = 1,c(x) = x + 2/x , d(x) = xとするとき、微分方程式の一般解を求めよ。 途中の計算などもできれば詳しくお願いします。

  • 大学院入試の微分方程式の問題がわかりません!

    問題の式を書くとややこしいので画像を添付しました。 【初期条件: y(0)=y0,y'(0)=y1】 画像の微分方程式について (1) 変数変換 u=( x^2 + 2 )y を行って、uに関する微分方程式を導け (2) (1)で導いた微分方程式を解くことで、元の微分方程式の解yを求めよ (3) 【x→∞】lim y(x)を計算せよ また、【x→-∞】lim y(x)が存在するためのy0,y1の条件を求めよ (1)の変数変換を行うときに uを微分してu' u'' を出し それらをy y' y'' の式に直して代入すればできると思うのですが その変形がややこしすぎて何回やっても間違えてしまいます そこで知識ある皆様のお力をお貸しいただければと思い質問しました。 何卒よろしくお願い致します。

専門家に質問してみよう