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微分方程式

dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に対しての次の問のとき方について教えてください (1)x^a が微分方程式の解となるように実数aを求めよ (2) a を(1)で求めたものとする。y=x^a+zを微分方程式に代入して,zの満たす微分方程式を求めよ。 (3)(2)で求めたzの微分方程式を解いて,もとの微分方程式の解yを求めよ (1)についてはa=2という答えだと思うのですが,(2)以降の解き方の手順がわかりません。解法がわかるのであればよろしくおねがいします。

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  • 回答No.1
  • yyssaa
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(1)は正解。 (2)はzをz(x)として、y=x^2+z(x)・・・(ア)           dy/dx=2*x+dz/dx・・・(イ) (ア)(イ)を与式に代入、整理してdz/dx+e^x*z^2=0・・・(ウ) (ウ)が(2)の答です。 (3)z=e^bxとしてdz/dx=b*z=b*e^bxと共に(ウ)に代入、整理して e^bx*{b+e^(x+bx)}=0。e^bx≠0よりb+e^(x+bx)=0を満たすb=-1を得る。 よってもとの微分方程式の解yは x^2とx^2+e^(-x)となる。

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計算を羅列しますから読み取って下さい. そして,質問者さんなりに解釈・理解して下さい. dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x ax^(a-1)-2x^2(e^x)x^a+(e^x)x^(2a)=2x-(x^4)e^x ax^(a-1)-2x^(a+2)(e^x)+(e^x)x^(2a)=2x-(x^4)e^x ax^(a-2)-2x^(a+1)(e^x)+(e^x)x^(2a-1)=2-(x^3)e^x -2x^(a+1)(e^x)+(e^x)x^(2a-1)+(x^3)e^x =2-ax^(a-2) -2x^(a+1)(e^x)+(e^x)x^(2a-1)+(x^3)e^x =0 2-ax^(a-2) =0 -2x^(a+1)+x^(2a-1)+x^3 =0 2=ax^(a-2) a=2  ・・・・・(1)の答え. -2x^(2+1)+x^(2*2-1)+x^3 =0 2=2x^(2-2) -2+1+1 =0 2=2 (2) の計算. y= x^2+z dy/dx = 2x+dz/dx 2x+dz/dx-2*x^2*e^x*( x^2+z)+e^x*( x^2+z)^2=2*x-x^4*e^x dz/dx-2*x^2*e^x*( x^2+z)+e^x*( x^2+z)^2=-x^4*e^x dz/dx-2*x^2*e^x*( x^2+z)+e^x*( x^4+2zx^2+z^2)=-x^4*e^x dz/dx-2*x^2*e^x*x^2-2*x^2*e^xz+e^x*x^4+2e^x*zx^2+e^x*z^2=-x^4*e^x dz/dx-2*x^4*e^x-2*x^2*e^xz+e^x*x^4+2e^x*zx^2+e^x*z^2=-x^4*e^x dz/dx-2x^4 e^x-2x^2 e^x z+e^x x^4+2e^x z x^2+e^x z^2=-x^4 e^x dz/dx-x^4 e^x-2x^2 e^x z+2e^x z x^2+e^x z^2=-x^4 e^x dz/dx-2x^2 e^x z+2e^x z x^2+e^x z^2=0 dz/dx+(e^x) z^2=0  ・・・・・(2)の答え. (3)の計算. dz/dx=-e^x z^2 dz/z^2=-e^x dx ∫dz/z^2=-∫e^x dx+C  ・・・C は積分定数. -1/z=-e^x +C 1/z=e^x -C z=1/(e^x -C) y=x^2+z y=x^2+1/(e^x -C) ・・・・・(3)の答え. なお, y=x^2+1/(e^x +C) ・・・・・(3)の答え. でもよい. ---------------- 検算: y=x^2+1/(e^x -C) dy/dx=2x -(e^x)/(e^x -C)^2 dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に代入すると, 2x -(e^x)/(e^x -C)^2-2*x^2*e^x*(x^2+1/(e^x -C)) +e^x*(x^2+1/(e^x -C))^2=2*x-x^4*e^x 2x -(e^x)/(e^x -C)^2-2*x^2*e^x*x^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -C) +e^x*(x^4+1/(e^x -C)^2+2x^2/(e^x -C))=2*x-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -C)^2-2*x^2*e^x*x^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -C) +e^x*x^4+e^x/(e^x -C)^2+2e^x*x^2/(e^x -C)=-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -C)^2-2*x^4*e^x-(2*x^2*e^x)/(e^x -C) +e^x*x^4+e^x/(e^x -C)^2+2e^x*x^2/(e^x -C)=-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -C)^2-x^4*e^x-(2*x^2*e^x)/(e^x -C) +e^x/(e^x -C)^2+2e^x*x^2/(e^x -C)=-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -C)^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -C) +e^x/(e^x -C)^2+2e^x*x^2/(e^x -C)=0 -e^x/(e^x -C)^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -C) +e^x/(e^x -C)^2+(2*x^2*e^x)/(e^x -C)=0 以上,検算おわり.

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  • 回答No.2
  • Ginzang
  • ベストアンサー率66% (136/206)

回答No.1には誤りがあるので、私がもう少しだけ丁寧に示す。 問題自体は何も難しいことはなく、問題文に従って代入し式変形していけば解ける。 dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x ・・・ (*) (1)は、質問者の言う通り、a=2である。 (但しこれは、(*)の解の内の一つにすぎない。いわゆる特解というものである。(2)以降では、これを足がかりにして他の解を見つけようとしているのである) (2)は、言われた通りに y = x^2+z を(*)に代入すると、x^2 絡みで上手いこと相殺される項があるので、次のようになる。 dz/dx + e^x*z^2 = 0 ・・・ (**) (3)は、(**)を解くわけだが、これは変数分離形なので解けると思う。 つまり、(**)を z^(-2)*dz/dx = -e^x と変形し、両辺をxで積分するのである。結果は次のようになる。 z = 1/(e^x + C) (Cは積分定数) (回答No.1は、C=0 の場合に過ぎず、一般解はこちらが正しい) よって、y = x^2 + 1/(e^x + C) となる。

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