微分方程式

質問

dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に対しての次の問のとき方について教えてください
（1）x^a　が微分方程式の解となるように実数aを求めよ
(2) a を(1)で求めたものとする。y=x^a+zを微分方程式に代入して，zの満たす微分方程式を求めよ。
(3)(2)で求めたzの微分方程式を解いて，もとの微分方程式の解yを求めよ

(1)についてはa=2という答えだと思うのですが，(2)以降の解き方の手順がわかりません。解法がわかるのであればよろしくおねがいします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)は正解。
(2)はzをz(x)として、y=x^2+z(x)・・・(ア)
　　　　　　　　　　dy/dx=2*x+dz/dx・・・(イ)
(ア)(イ)を与式に代入、整理してdz/dx+e^x*z^2=0・・・(ウ)
(ウ)が(2)の答です。
(3)z=e^bxとしてdz/dx=b*z=b*e^bxと共に(ウ)に代入、整理して
e^bx*{b+e^(x+bx)}=0。e^bx≠0よりb+e^(x+bx)=0を満たすb=-1を得る。
よってもとの微分方程式の解yは x^2とx^2+e^(-x)となる。

回答No.3

Knotopolog

計算を羅列しますから読み取って下さい．
そして，質問者さんなりに解釈・理解して下さい．

dy/dx－2*x^2*e^x*y＋e^x*y^2＝2*x－x^4*e^x

ax^(a－1)－2x^2(e^x)x^a＋(e^x)x^(2a)＝2x－(x^4)e^x

ax^(a－1)－2x^(a＋2)(e^x)＋(e^x)x^(2a)＝2x－(x^4)e^x

ax^(a－2)－2x^(a＋1)(e^x)＋(e^x)x^(2a－1)＝2－(x^3)e^x

－2x^(a＋1)(e^x)＋(e^x)x^(2a－1)＋(x^3)e^x ＝2－ax^(a－2)

－2x^(a＋1)(e^x)＋(e^x)x^(2a－1)＋(x^3)e^x ＝0

2－ax^(a－2) ＝0

－2x^(a＋1)＋x^(2a－1)＋x^3 ＝0

2＝ax^(a－2)

a＝2 　・・・・・(1)の答え．

－2x^(2＋1)＋x^(2*2－1)＋x^3 ＝0

2＝2x^(2－2)

－2＋1＋1 ＝0

2＝2

(2) の計算．

y＝ x^2＋z

dy/dx ＝ 2x＋dz/dx

2x＋dz/dx－2*x^2*e^x*( x^2＋z)＋e^x*( x^2＋z)^2＝2*x－x^4*e^x

dz/dx－2*x^2*e^x*( x^2＋z)＋e^x*( x^2＋z)^2＝－x^4*e^x

dz/dx－2*x^2*e^x*( x^2＋z)＋e^x*( x^4＋2zx^2＋z^2)＝－x^4*e^x

dz/dx－2*x^2*e^x*x^2－2*x^2*e^xz＋e^x*x^4＋2e^x*zx^2＋e^x*z^2＝－x^4*e^x

dz/dx－2*x^4*e^x－2*x^2*e^xz＋e^x*x^4＋2e^x*zx^2＋e^x*z^2＝－x^4*e^x

dz/dx－2x^4 e^x－2x^2 e^x z＋e^x x^4＋2e^x z x^2＋e^x z^2＝－x^4 e^x

dz/dx－x^4 e^x－2x^2 e^x z＋2e^x z x^2＋e^x z^2＝－x^4 e^x

dz/dx－2x^2 e^x z＋2e^x z x^2＋e^x z^2＝0

dz/dx＋(e^x) z^2＝0 　・・・・・(2)の答え．

(3)の計算．

dz/dx＝－e^x z^2

dz/z^2＝－e^x dx

∫dz/z^2＝－∫e^x dx＋C　　・・・C　は積分定数．

－1/z＝－e^x ＋C

1/z＝e^x －C

z＝1/(e^x －C)

y＝x^2＋z

y＝x^2＋1/(e^x －C)　・・・・・(3)の答え．

なお，

y＝x^2＋1/(e^x ＋C)　・・・・・(3)の答え．

でもよい．
----------------
検算：

y＝x^2＋1/(e^x －C)

dy/dx＝2x －(e^x)/(e^x －C)^2

dy/dx－2*x^2*e^x*y＋e^x*y^2＝2*x－x^4*e^x
に代入すると，

2x －(e^x)/(e^x －C)^2－2*x^2*e^x*(x^2＋1/(e^x －C))
＋e^x*(x^2＋1/(e^x －C))^2＝2*x－x^4*e^x

2x －(e^x)/(e^x －C)^2－2*x^2*e^x*x^2－(2*x^2*e^x)/(e^x －C)
＋e^x*(x^4＋1/(e^x －C)^2＋2x^2/(e^x －C))＝2*x－x^4*e^x

－(e^x)/(e^x －C)^2－2*x^2*e^x*x^2－(2*x^2*e^x)/(e^x －C)
＋e^x*x^4＋e^x/(e^x －C)^2＋2e^x*x^2/(e^x －C)＝－x^4*e^x

－(e^x)/(e^x －C)^2－2*x^4*e^x－(2*x^2*e^x)/(e^x －C)
＋e^x*x^4＋e^x/(e^x －C)^2＋2e^x*x^2/(e^x －C)＝－x^4*e^x

－(e^x)/(e^x －C)^2－x^4*e^x－(2*x^2*e^x)/(e^x －C)
＋e^x/(e^x －C)^2＋2e^x*x^2/(e^x －C)＝－x^4*e^x

－(e^x)/(e^x －C)^2－(2*x^2*e^x)/(e^x －C)
＋e^x/(e^x －C)^2＋2e^x*x^2/(e^x －C)＝0

－e^x/(e^x －C)^2－(2*x^2*e^x)/(e^x －C)
＋e^x/(e^x －C)^2＋(2*x^2*e^x)/(e^x －C)＝0

以上，検算おわり．

回答No.2

Ginzang

回答No.1には誤りがあるので、私がもう少しだけ丁寧に示す。

問題自体は何も難しいことはなく、問題文に従って代入し式変形していけば解ける。
dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x ・・・ (*)

(1)は、質問者の言う通り、a=2である。
（但しこれは、(*)の解の内の一つにすぎない。いわゆる特解というものである。(2)以降では、これを足がかりにして他の解を見つけようとしているのである）

(2)は、言われた通りに y = x^2+z を(*)に代入すると、x^2 絡みで上手いこと相殺される項があるので、次のようになる。
dz/dx + e^x*z^2 = 0 ・・・ (**)

(3)は、(**)を解くわけだが、これは変数分離形なので解けると思う。
つまり、(**)を
z^(-2)*dz/dx = -e^x
と変形し、両辺をxで積分するのである。結果は次のようになる。
z = 1/(e^x + C) （Cは積分定数）
（回答No.1は、C=0 の場合に過ぎず、一般解はこちらが正しい）

よって、y = x^2 + 1/(e^x + C) となる。