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全微分について

いつもお世話になっております. この度は次の2つの問題に関して質問させていただきます. 問1 次の連立方程式の全微分をとり,dy/dxを求めなさい. zf(x)+(1-z)g(z)=0 z=yx 問2 方程式ye^(2x)=10について-dy/dxとd/dx(-dy/dx)を求めなさい. 問1に関しては,f(x)とg(z)が与えられていない状況でどう考えて良いのかが全くわかりません.yxf(x)+(1-yx)g(z)=0として全微分すればよいのでしょうか?もしそうだとするならば計算が煩雑になるので,他によい解き方はありませんでしょうか? 問2は全微分を行うと,2ye^(2x)dx+e^(2x)dy=0となり,-dy/dx=2yと求められました.しかし,与式をはじめにy=10e^(-2x)と変形してから微分すると-dy/dx=20e^(-2x)となりました.どうして同じ-dy/dxであるにも関わらず答えが違うのでしょうか? 以上2点,よろしくお願い致します.

noname#45467
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問2の追加補足  y=10e^(-2x)となるので、dy/dx=-20e^(-2x)=-2y 次にd/dx(-dy/dx)=d/dx(20e^(-2x))=-40e^(-2x)=-4y これを見てもわかるように、dy/dxにもxが含まれているので、d/dx(-dy/dx)=0にはなりません。 問1は地道にやるしかないですね。合成関数の微分を使います。 z=yxよりz'=y+xy' また zf(x)+(1-z)g(z)=0を両辺微分して、 z'f+zf'-z'g+(1-z)g'z'=0 z'(f-g+(1-z)g')+zf'=0 (y+xy')(f-g+(1-z)g')+zf'=0 y(f-g+(1-z)g')+xy'(f-g+(1-z)g')+yxf'=0 y'=-y(f-g(1-z)g'+xf')/x(f-g+(1-z)g')となるのでしょう。

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質問者からのお礼

再度ご回答いただきまして誠に有難うございます. 両問題とも丁寧に解説していただいたため,非常に理解が深まりました.

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  • 回答No.1

問1は、-dy/dx=20e^(-2x)=2yとなって同じ答えなので、これでいいでしょう。よってd/dx(-dy/dx)=d/dx(2y)=2dy/dx=-4y 問2は、いずれにしても複雑になってしまいます。これ以外の条件はありませんか。問題間違いとか?

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. 問1に関しては,これ以外に条件はありません.問題の出典を考慮すれば,問題が間違っているということも考えられません. 回等いただいて疑問に感じたのですが,-dy/dx=2yとするとき,-dy/dxにxが含まれていないためd/dx(-dy/dx)=0になると思ったのですが,違うのでしょうか? もし宜しければ再度ご教示くださいますよう,何卒お願い致します.

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