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微分方程式の解き方を教えてください

y''+y=1/cosx という微分方程式の同次方程式y''+y=0の一般解は y=Acosx+Bsinx (A,Bは任意定数) ですが、特殊解の解き方が分かりません。  もし(右辺)=cosxなら逆演算子を使ってすぐに解けるのですが、(右辺)=1/cosxとなると分かりません。ご存知の方、お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。 ※ y''=d^2y/dx^2

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定数変化法で解けます。 A,Bをxの関数とします。 y=Acosx+Bsinxのロンスキアンは1になるので、 A'(x)=-sinx*(1/cosx)=-sinx/cosx B'(x)=cosx*(1/cosx)=1 これらを積分して A(x)=∫dt(-sint/cost) (積分の下限はなし、上限はx) B(x)=x よって特解は y=A(x)cosx+B(x)sinx ={∫dt(-sint/cost)}*cosx+x*sinx ={∫dt(-sint/cost)}*cosx+{∫1dt}*sinx (∫1dt=x) =∫dt{-sint/cost*cosx+cost/cost*sinx} (cost/cost=1) =∫dt{(-sint*cosx+cost*sinx)/cost} =∫dt{sin(x-t)/cost} (sinの加法定理) ■定数変化法 y=A*y1+B*y2のロンスキアンはW=det(y1 y2; y1' y2') y''+y=f(x)にy=A*y1+B*y2を代入すれば A'=-y2*f/W B'=y1*f/W が出ます。

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  • yaksa
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定数係数の線形微分方程式の特殊解は、定数変化法を使えば得られますね。 y=Acosx+Bsinx で、AとBを定数ではなくてxの関数だと思って、 微分方程式に代入して、A(x)とB(x)を決めます。 これだけだとA(x)、B(x)を決めるには式が足りないので、普通は、 A'(x)cosx+B'(x)sinx=0 という条件を余分につけます。

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