微分方程式の解き方を教えてください

質問

y''+y=1/cosx

という微分方程式の同次方程式y''+y=0の一般解は
y=Acosx+Bsinx　(A,Bは任意定数)
ですが、特殊解の解き方が分かりません。
　もし(右辺)=cosxなら逆演算子を使ってすぐに解けるのですが、(右辺)=1/cosxとなると分かりません。ご存知の方、お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。

※ y''=d^2y/dx^2

回答No.1

qntmphscs · ベストアンサー

定数変化法で解けます。

A,Bをxの関数とします。
y=Acosx+Bsinxのロンスキアンは１になるので、
A'(x)=-sinx*(1/cosx)=-sinx/cosx
B'(x)=cosx*(1/cosx)=1

これらを積分して
A(x)=∫dt(-sint/cost)　（積分の下限はなし、上限はｘ）
B(x)=x

よって特解は
y=A(x)cosx+B(x)sinx
={∫dt(-sint/cost)}*cosx+x*sinx
={∫dt(-sint/cost)}*cosx+{∫1dt}*sinx　（∫1dt=x）
=∫dt{-sint/cost*cosx+cost/cost*sinx}　（cost/cost=1）
=∫dt{(-sint*cosx+cost*sinx)/cost}
=∫dt{sin(x-t)/cost}　（sinの加法定理）

■定数変化法
y=A*y1+B*y2のロンスキアンはW=det(y1　y2; y1'　y2')

y''+y=f(x)にy=A*y1+B*y2を代入すれば
A'=-y2*f/W
B'=y1*f/W
が出ます。

お礼

ご回答ありがとうございます。おかげさまで理解できました。

回答No.2

yaksa

定数係数の線形微分方程式の特殊解は、定数変化法を使えば得られますね。
y=Acosx+Bsinx

で、AとBを定数ではなくてxの関数だと思って、
微分方程式に代入して、A(x)とB(x)を決めます。
これだけだとA(x)、B(x)を決めるには式が足りないので、普通は、
A'(x)cosx+B'(x)sinx=0
という条件を余分につけます。

お礼

ご回答ありがとうございます。おかげさまで解けました。