微分方程式

質問

微分方程式の特殊解のおき方がわかりません

y"+y=secx
同時微分方程式を解くと
ｙ＝ｃ１cosx+c2sinx
となるところまでできるのですが
ここから
ｙ（ｘ）＝Acosx+Bsinx
とおいて計算してもうまくいきません
お願いします

回答No.6

guuman · ベストアンサー

このような簡単な問題に５のように派手にしないといけないのはいかがなものかな？
これじゃ質問者がパンクするぞ
特解を求めればいいので以下任意定数は勝手に定義していく

y(x)=ｕ（ｘ）・cos(x)
とすると
cos^2(x)・u"-2・sin(x)・cos(x)・u'＝1
これは非斎次線形一階微分方程式なので公式があるが視察でやると
(cos^2(x)・u')'=1
よって
cos^2(x)・u'=x
すなわち
u=∫dx・x/cos^2(x)
=∫dx・x・(tan(x))'
=x・tan(x)-∫dx・tan(x)
=x・tan(x)+log(|cos(x)|)
よって
y=u・cos(x)=x・sin(x)+cos(x)・log(|cos(x)|)

回答No.5

kup3kup3

こんばんは。

多分　前期か第1期の試験が近いと思うので、
特殊解を一つ示します。
それは、この問題は特殊解を求めるのが難しく、本を久しぶりに見てみたのですが、
回答者の方々が言っておられるように、この形の方程式の解は
「y"+y=0の一般解、その内　基本的なものがy=cosx とy=sinxで
　この一次結合　c1cosx+c2sinx」に
「y"+y=secxの解を一つ見つけてそれをy=m(x)としたとき、そのm(x)を
足したもの」として与えられるということです。
つまり、「y"+y=secxの解全体はc1,c2をいろいろ実数で動かした　
ｃ１cosx+c2sinx＋m(x)の形のもの全体である」ということです。
このm(x)のようなものを特殊解といいます。
◎　その一つは、
　m(x)＝(cosx)log|cosx|+xsinx で与えられます。
これは次の本を参考にしました。もう古くなってしまいました。
裳華房　三村　征雄編　「大学演習　微分積分学」pp345－348
特にp348全部とp349の例5が参考になります。
大体のポイントは、次のとおりです。
「特殊解を求めることを考える。y"+y=0に対応する固有方程式λ^2+1=0が
虚数解λ=αをもつとき、α=β±γiとして元の同時方程式が
{(d/dx－β)^2+γ^2}y=0　・・・(ア) となる。そのとき、
(ア)の一般解は、c１・e^(βx)cosγx+c2・e^(βx)sinγx
となる。また、
★　{(d/dx－β)^2+γ^2}y=φ(x)　の特殊解m(x)は例えば次のように求まる。
f1=e^(βx)cosγx,f2=e^(βx)sinγx として、Wronskian（ウロンスキアン）という
行列式
W(x)＝|f1　 f2|
　　　 |f'1　f'2|　・・・(イ)
を考えると、
　　 　|e^(βx)cosγx　　　　　　　 　　e^(βx)sinγx|
W(x)＝|e^(βx)(βcosγx－γsinγx)　e^(βx)(βsinγx+γcosγx)|

　　=γe^(2βx)となる。
このW(x)=γe^(2βx)を使用してW1(x)=-f2(f'1の余因子),
W2(x)=f1 (f'2の余因子)として
c1(x)=int[{φ(x)W1(x)}/W(x)]dx，
c2(x)=int[{φ(x)W2(x)}/W(x)]dx　とした
m(x)=c1(x)e^(βx)cosγx+c2(x)e^(βx)sinγx・・・(ウ）が
求める特殊解である。この場合計算して
c1(x)=-int[{φ(x)e^(-βx)sinγx}/γ]dx
c2(x)=int[{φ(x)e^(-βx)cosγx}/γ]dxとなるので、

m(x)=－{e^(βx)cosγx}/γ×int[{φ(x)e^(-βx)sinγx}dx
　　　+{e^(βx)sinγx}/γ×int[{φ(x)e^(-βx)cosγx}dx
　・・・・(#)で与えられる。
◎　質問者の問題はα=±iなのでβ=0，γ=1，φ(x)=secxとして特殊解の１つ
　m(x)=-cosx×int[(secx)sinx]dx+sinx×int[(secx)cosx)]dxが求まります。
これを計算するとなるはずです。
　intは積分記号のインテグラルです。

回答No.4

Willyt

その通り。ちょっと見間違えましたm(_=_)m　よく見ないといけませんね(^_^;)

回答No.3

guuman

２の人は勘違いしている様だが
y(x)=ｕ（ｘ）・cos(x)
のcos(x)は一般解の一つだよ
確実に２階を１階にする方法だよ

回答No.2

Willyt

＃１さん御指摘のように視察でもいいのですが、一般には次のようにします。

ｙ(ｘ)＝Acosx+Bsinx

と置いて原式に代入するのですが、そのとき、積分定数Ａ、Ｂをｘの函数であると看做すのです。

回答No.1

guuman

特解を求めたいのならば
y（x）＝ｕ（x)・cos(x)
とでもおいてみな