こんばんは。
多分 前期か第1期の試験が近いと思うので、
特殊解を一つ示します。
それは、この問題は特殊解を求めるのが難しく、本を久しぶりに見てみたのですが、
回答者の方々が言っておられるように、この形の方程式の解は
「y"+y=0の一般解、その内 基本的なものがy=cosx とy=sinxで
この一次結合 c1cosx+c2sinx」に
「y"+y=secxの解を一つ見つけてそれをy=m(x)としたとき、そのm(x)を
足したもの」として与えられるということです。
つまり、「y"+y=secxの解全体はc1,c2をいろいろ実数で動かした
ｃ１cosx+c2sinx＋m(x)の形のもの全体である」ということです。
このm(x)のようなものを特殊解といいます。
◎ その一つは、
m(x)＝(cosx)log|cosx|+xsinx で与えられます。
これは次の本を参考にしました。もう古くなってしまいました。
裳華房 三村 征雄編 「大学演習 微分積分学」pp345－348
特にp348全部とp349の例5が参考になります。
大体のポイントは、次のとおりです。
「特殊解を求めることを考える。y"+y=0に対応する固有方程式λ^2+1=0が
虚数解λ=αをもつとき、α=β±γiとして元の同時方程式が
{(d/dx－β)^2+γ^2}y=0 ・・・(ア) となる。そのとき、
(ア)の一般解は、c１・e^(βx)cosγx+c2・e^(βx)sinγx
となる。また、
★ {(d/dx－β)^2+γ^2}y=φ(x) の特殊解m(x)は例えば次のように求まる。
f1=e^(βx)cosγx,f2=e^(βx)sinγx として、Wronskian（ウロンスキアン）という
行列式
W(x)＝|f1 f2|
|f'1 f'2| ・・・(イ)
を考えると、
|e^(βx)cosγx e^(βx)sinγx|
W(x)＝|e^(βx)(βcosγx－γsinγx) e^(βx)(βsinγx+γcosγx)|
=γe^(2βx)となる。
このW(x)=γe^(2βx)を使用してW1(x)=-f2(f'1の余因子),
W2(x)=f1 (f'2の余因子)として
c1(x)=int[{φ(x)W1(x)}/W(x)]dx，
c2(x)=int[{φ(x)W2(x)}/W(x)]dx とした
m(x)=c1(x)e^(βx)cosγx+c2(x)e^(βx)sinγx・・・(ウ）が
求める特殊解である。この場合計算して
c1(x)=-int[{φ(x)e^(-βx)sinγx}/γ]dx
c2(x)=int[{φ(x)e^(-βx)cosγx}/γ]dxとなるので、
m(x)=－{e^(βx)cosγx}/γ×int[{φ(x)e^(-βx)sinγx}dx
+{e^(βx)sinγx}/γ×int[{φ(x)e^(-βx)cosγx}dx
・・・・(#)で与えられる。
◎ 質問者の問題はα=±iなのでβ=0，γ=1，φ(x)=secxとして特殊解の１つ
m(x)=-cosx×int[(secx)sinx]dx+sinx×int[(secx)cosx)]dxが求まります。
これを計算するとなるはずです。
intは積分記号のインテグラルです。
