1階の線形微分方程式

質問

1階の線形微分方程式

次の微分方程式の解き方が分かりません。いちおう、自分でもやりましたが、答えを先生が教えてくれないので困っています。さらに(3)はさっぱりです。

(1)y'+2y=6e^x
(2)y'+y=sinx
(3)xy'-2y=x^3e^x

(1),(2)の自分なりで解いてみた答え
(1)
λ+2=0
λ= -2
よってこの微分方程式の一般解は
y1=Ce^-2x

ここで、yp=k1*e^x
とおいて、ypを微分方程式内に代入をすると、
yp'+2yp=k1*e^x+2k1*e^x=3k1*e^x=6e^x
k1=2
y2=2e^x
よって
y=y1+y2=C*e^-2x+2e^x

(2)
λ+1=0
λ= -1
よって、求める一般解は
y1=Ce^-x

ここで、特殊解を考えると
yp=L*sinx+M*cosx
yp'=L*cosx-M*sinx

これを微分方程式に代入して
yp'+yp=(L*sinx+M*cosx)+(L*cosx-M*sinx)=(L-M)sinx+(L+M)cosx
ここで、
L-M=1
L+M=0
これを解いて
L=1/2,M=-1/2

y2=1/2*sinx-1/2*cosx

よって、y=y1+y2=Ce^-x+1/2*sinx-1/2*cosx

回答No.2

2ac0uO · ベストアンサー

一般的な話として、
y が x の関数の場合の線形微分方程式の解法として、
左辺を y 及び y の導関数の式，右辺に y 及び y の導関数を含まない式と言う形に整理します。
次に、右辺＝０ とおいた微分方程式を作成し、その特殊解を一つ見つけます。
仮にその特殊解を f(x) とおくと、
y = f(x)*g(x) とする事が可能です。これを最初の微分方程式に代入して整理すると、
g(x) に関する微分方程式となり、最初の微分方程式よりも若干扱いやすくなります。
この微分方程式の一般解を求め、f(x)との積を求めれば、最初の方程式の一般解が得られます。

(1) の場合、
f(x) = exp(-2x) と言う所まで求めていらっしゃいますので、
y = g*exp(-2x) とおくと、
g'*exp(-2x) = 6*exp(x)
これは簡単に一般解が求まりますね。

(2)の場合
f(x) = exp(-x) とおくと、
積分が少し面倒ですが、一般解が求まります。

(3) の場合、
一旦、x*f'-2f = 0 とおいてみると、
f'/f = 2/x となりますので、f の特殊解は比較的簡単に求められます。
y = f*g とおくと、最初の式は
g' = (x^2)*exp(x)/f と整理出来ますので、後はがんばって一般解を求めて下さい。

お礼

ありがとうございます。おかげで、解けました！！

回答No.1

Tacosan

(3): x^3 で割る.