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KがQの3次拡大体⇔√D∈Q ただし Q:有理数体 D:=－(4p^3+27q^2) と教えていただきました。 虚数解が存在する時にはKがQの6次拡大体になることは明白なので 以下与式が3実解を持つ(0<D)とします。 A:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の実数部 B:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の虚数部 (ただし^(1/3)は複素平面上偏角が正で最小のものとする) 与式の1実解は α=2A と表され 他の実解の1つは β=-A-√3B と表される。 -q/2+i√D/6/√3=(A+iB)^3より A^3-3AB^2=-q/2 3A^2B-B^3=√D/6/√3 なので β=-α/2-√D/(2α^2-q/α)/2 従って √D∈Q⇒KはQの3次拡大体 ということは分かりました。 質問は KがQの3次拡大体⇒√D∈Q の理由を教えてください。 √D∈Q(α)⇒√D∈Q を示すことが出きればいいと思うのですが・・・ なお、前回の同じ質問は間違っていたので回答しないでください。 よろしくお願いします。

地球から無限遠の距離までロケットを打ち出すためには太陽の引力から脱出しなければならない。太陽から地球までの距離は1.5*10^11m、１年は365日として地球から無限遠の距離まで（太陽からも）ロケットを打ち出すのに必要な最低の初速度の大きさを求めよ。ただし、地球から見た位置エネルギーは無視して良いものとする。 という問題で、答えは4.2*10^4m/sなのですが、どうやればいいのか全然分かりません。教えてください。

a1 a2 ・・・・・an a1 a2 ・・・・・an ・・・・・・・・・ a1 a2 ・・・・・an a1 a2 ・・・・・an 上記は行列です。 |A-λE|=0を用いるのでしょうか？ 固有多項式を求めることができません。 よろしくお願いします。

線形代数の直行行列の性質で tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たすものと書かれていたのですが、ある参考書には正規直行基底を列ベクトルにもつ行列を直行行列という、とかいてあるのですが、それぞれの列ベクトルが大きさ１という条件は必要なのでしょうか。それともtPP = E, P tP = Eを満たすだけで直行行列といえるのでしょうか。

確率変数Zの確率密度関数をpとするとき，Zの期待値は E[Z] = ∫{z p(z)}dz （ただし積分範囲はZの定義される空間全体） で定義されますが，期待値の加法性： E[X + Y] = E[X] + E[Y] はどのように証明できるのでしょうか？ 証明もしくは証明が載っている文献を教えて頂ければ幸いです。