２階線形微分方程式

質問

質問なんですが。

微分方程式で　y''-2y'+y=(e^x)cosx　という問題があるんですが
この特殊解を求めるときに
y=a(e^x){cosx+(i)sinx}　とおいて、これを微分方程式に代入すれば
特殊解がy=-(e^x)cosx
となるとなっているのですが。
y=a(e^x){cosx+(i)sinx}　とおくというのがよく分かりません。
なんでiがでてくるのかとかも…。

僕は最初
y=a(e^x)cosx+b(e^x)sinxとおいて計算していました。

質問がわかりにくかったらすいません。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞y=a(e^x){cosx+(i)sinx}　とおくというのがよく分かりません。
＞なんでiがでてくるのかとかも…。
オイラーの公式
exp(ix)＝cosx + (i)sinx
exp(x)*exp(ix)⇔exp(1+i)x
を使っているだけです。
そうすると
y=a(e^x){cosx+(i)sinx}=a*exp(x+ix)=a*exp(1+i)x
となって
y'=a(1+i)exp(1+i)x
y"=a{(1+i)^2}exp(1+i)x
と微分が非常にしやすいということからきているかと思います。
iが突然出てきて驚かれたでしょう。

＞y=a(e^x)cosx+b(e^x)sinxとおいて計算していました。
この方法も正解ですよ。

お礼

できないと思ってたらもう一度やってみたらできました!
なるほどそういう事なんですね!
僕のやり方だと計算が非常にめんどくさかったですがこれだと簡単ですね。
分かりやすい説明ありがとうございました。