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微分方程式の問題がわかりません

こんにちは、微分方程式の授業でわからない問題があって困ってます、 y''+ay'+by=0(a,bは実数の定数)においてy=(4-2x)e^-xが解である場合、a,bの値を求め、その一般解を求めよという問題です。 最後のページ解答が載っていてa=2、 b=1 y=(c1+c2x)e^-x (c1, c2は任意定数)となっているのですが。過程を是非教えていただきたいと思います。よろしくお願いします。

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  • 回答No.1
  • cacao86
  • ベストアンサー率32% (14/43)

まず、与えられた解であるyをy',y''と計算して問題の式に代入してみればa,bは求められると思います。 その後、a,bの値を代入してy''+2ay'+y=0。2階線形微分方程式になっているので特性方程式λ^2+2λ+1=0の解はλ=-1で重解。このとき一般解はy=c1e^(-x)+{c3e^(-x)}' =c1e^(-x)-xc3e^(-x) =c1e^(-x)+c2xe^(-x) (c2=-c3) =(c1+c2x)e^-x (c1,c2は任意定数) かなと思います。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。とても分りやすい解説で完璧に理解することができました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • carvelo
  • ベストアンサー率49% (49/99)

ご自分ではどこまでやったのでしょうか? y=(4-2x)e^(-x)が解だと分かっているなら、方程式の左辺に代入してみましょう。 因みにこの問題に限れば、与えられた解の形(e^(-x)とxe^(-x)の線形結合)と方程式が定係数ニ階斉次線形常微分方程式であることから「基本解がe^(-x)とxe^(-x)で(つまり、一般解がy=(c1+c2x)e^(-x)で)、従って特性方程式が(λ+1)^2=0となるからa=2、b=1」とすぐに分かります。

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質問者からのお礼

全然分らなくて自分ではあきらめモードでしたすみません、この度は本当に助かりました。ありがとうございました。

  • 回答No.2
  • teruta
  • ベストアンサー率65% (13/20)

aとbを求めるところを・・。 y=(4-2x)e^(-x) なのでまずこれを2回微分します。 積の微分法を用いて y'=-(4-2*x)*e^(-x)-2*e^(-x)  =2*(x-3)*e^(-x) y''=-2*(x-4)*e^(-x) これを元の微分方程式に代入します y''+ay'+by=0 -2*(x-4)*e^(-x) + a{2*(x-3)*e^(-x)} + b{(4-2x)e^(-x)} = 0 e^(-x)は全部の項に掛かっていて、右辺が0なので消します -2*(x-4) + 2a*(x-3) + b(4-2x) = 0 展開すると 2ax-6a-2bx-2x+4b+8 = 0 xについてまとめると x(2a-2b-2)-6a+4b+8 = 0x + 0 右辺を少し書き換えましたが、同じことです。 左辺と右辺を比較すると、次の連立方程式が得られます。 2a-2b-2 = 0 -6a+4b+8 = 0 これを解けばa=2,b=1が得られます。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。とても分りやすい解説で完璧に理解することができました。

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