以下の微分方程式について

質問

http://okwave.jp/qa4831916.html　から。（２問めはできたので省略）

色々とご意見いただいたので、新しく質問板をたてました。

補足を書きます。

(1) y''+ (2/x)y' + (a^2)y =0　　の一般解

z=xy　、z=(x^2)y　などと置き換えましたが、結局できませんでした。

どうやって置き換えるかが知りたいです。

(2) 2x + y = Ce^(4x+y)　　を y=f(x)の形に

(3) y + ((x^2) + (y^2))^(1/2) = C(x^2)　　　を y=f(x)の形に

この２つは微分方程式の一般解で、答えは y=f(x)の形になるようなのですがどうやってもできませんでした。

の以上3問です。
(y' = (dy/dx) ,(y^2)= yの2乗, C=任意定数 ,e=自然対数,a=定数)

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

(2)
このサイトではよく見かける、指数方程式の問題。
ランベルトのＷ関数を使えば、陽に表示できる。
z = w e^w で定まる関数 w = W(z) を、Ｗ関数と呼ぶ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0
与式を変形して
-(2x+y) e^-(2x+y) = -C e^{ (4x+y) - (2x+y) } より、
y = -2x - W( -C e^2x ) となる。
Ｗ関数を、初等関数の組み合わせで表示することは
できない。

(3)
これは、中学範囲では？
x^2 + y^2 = (C x^2 - y)^2 = (C^2)x^4 - 2C(x^2)y + y^2
2C(x^2) y = (C^2)x^4 - x^2
y = (1/2){ C x^2 - (1/C) }　ただし C ≠ 0 のとき。
C = 0 であれば、x = 0 かつ y < 0 が解となる。

お礼

ありがとうございます。おかげですべて解くことができました。ランベルトのW関数のことをはじめて知りました。。

回答No.1

gef00675

(1) y''+ (2/x)y' + (a^2)y =0　　の一般解について。
変数の置換でどうにかなるものではないと思う。　一般に、変数係数の斉次線形微分方程式では、解が一つわかると、それを使って一般解を求められることが知られている。
まず(1)の一つの解を「勘で」見出す。（「勘」以外の一般的方法を私は知らない）
たぶん解はy=(1/x)e^(kx)の形になるだろうと仮定して、y',y''を計算し、与式に代入すると、k^2=-a^2にならねばならないので、オイラーの公式から、
y=(1/x)cos(ax)
が解になりそうだと予想できる。これを代入してみると、実際に解になっていることが確かめられる。これをy1(x)とおく。y1(x)=(1/x)cos(ax)。そこで今度は
y=y1(x)u(x)
とおいて、与式に代入して、そうなるような関数u(x)を定める。（いわゆる定数変化法）
これはu'(x)に関する、変数分離形の微分方程式になるので、簡単に解けるはず。あとは自分で計算して。

お礼

ありがとうございます。（１）を解くことができました。