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微分方程式、x=0,y=0のときなどの確認

微分方程式、x=0,y=0のときなどの確認 すべて一般解を求めよ、という問題です。 cosydx+sinydy=0 積分因子を用いて、 (e^x)cosy=C を導きましたが、その過程でsiny≠0のときとしてsinyで割っています。 確認方法ですが、y=2nπのとき、x=lnC=C′より、方程式に代入して、 ∫1dx=0 x=-C=C″ より、解は(c,y)を含む、ということでいいんでしょうか? 別問で、 方程式 3xydy+(x^2+y^2)dy=0 x≠0,y≠0のとき 解 (3/2)・x^2・y^(2/3)+y^(8/3)=C x=0のときy=0 よって、(0,0)を含む となりましたが、上の場合は、はっきりと数値が出ない、任意定数もそれぞれlnCと-Cが元になっているわけですし、確認計算のために合っているかどうか、スッキリしません。 もう1つ (dy/dx)+y/x=sinx/x という方程式なんですが、 左辺=0の方程式の解を最初に求めるとき、y≠0とします。 この解がy=c/x となります。 この後、定数変換法で解いていくわけですが、ここでも、y=0のときxは任意、(c′,0)は含むただしx≠0ということでOKでしょうか?

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cosydx-sinydy=0 cosydx=sinydy siny=0のとき cosy=0となって(siny)^2+(cosy)^2=1に矛盾するから siny=0となる事はありません siny≠0 従ってy=2nπとなる事もありません y≠2nπ cosy=0のとき siny=0となってsiny≠0に矛盾するから cosy=0となる事もありません cosy≠0だから (siny)/(cosy)dy=dx t=cosy dt=-sinydy (1/t)dt=-dx logt=-x+c cosy=Ce^{-x} (e^x)cosy=C

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(1) (e^x)cosy=C→(e^x)cosydx-(e^x)sinydy=0 →cosydx-sinydy=0 なので (e^x)cosy=Cはcosydx+sinydy=0の解ではありません cosydx+sinydy=0 sinydy=-cosydx (-siny/cosy)dy=dx cosy=Ce^x (2) (3/2)x^2y^{2/3}+y^{8/3}=C →3xy^{2/3}dx+x^2y^{-1/3}dy+(8/3)y^{5/3}dy=0 →3xydx+(x^2+(8/3)y^2)dy=0 なので (3/2)x^2y^{2/3}+y^{8/3}=C は 3xydx+(x^2+y^2)dy=0 の解ではありません (3/2)x^2y^{2/3}+(3/8)y^{8/3}=C →3xy^{2/3}dx+x^2y^{-1/3}dy+y^{5/3}dy=0 →3xydx+(x^2+y^2)dy=0

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質問者からの補足

解答ありがとうございます。 (1)cosydx+sinydy=0の+→- (2) y^{8/3}→3/8y^{8/3} 問題と解答がそれぞれ記載ミスです。 改めて、質問だけ簡潔に書きます。 (1)は積分因子を使って求める際にsinyで割っています。 このときのsiny=0のとき一般解に含むか含まないかの判定方法を教えてください。

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