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微分方程式の解き方を教えてください
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>2, y´siny=cosx (2cosy-(sin^2)x) z=cosy とおく の解法については,以下の通りです. y と z を x の関数と考えて,z=cosy とおき,この両辺を x で微分すると z'=-y' siny です.これら, y' siny =-z' と cosy =z をもとの式に入れると z'+ 2z cosx-(cosx)(sin x)^2 =0 となり,z についての1階線形常微分方程式になります. 1階線形常微分方程式 dy/dx + p(x)y + q(x) = 0 の一般解は公式で y={exp(-∫p(x)dx)}[c-∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx] で与えられていますから,この y を z に読み替えて, z'+ 2z cosx-(cosx)(sin x)^2 =0 を上記の一般解の公式に入れます. すると以下になります. z={exp(-∫2cos x dx)}[c-∫{(-(cosx)(sin x)^2)・exp(∫2cos x dx)} dx] これを積分計算して整理してゆくと以下のようになります. 少し複雑ですが読みとって下さい. z={exp(-2sin x)}[c-∫{(-(cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx] まず,∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx について, 部分積分法を用いて計算します. ∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx= =(sin x)^2・∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx -∫{2(cosx)(sin x)∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx}dx ∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx= =(sin x)^2・(1/2)exp(2sin x) -∫{2(cosx)(sin x)(1/2)exp(2sin x)}dx ∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx= =(1/2)(sin x)^2・exp(2sin x) -[(1/2)(sin x)・exp(2sin x)-(1/2)∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx] ∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx= =(1/2)(sin x)^2・exp(2sin x) -(1/2)(sin x)・exp(2sin x)+(1/4)exp(2sin x) ∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx= =(1/2)exp(2sin x){(sin x)^2-(sin x)+(1/2)} これを z= の式にいれると z={exp(-2sin x)}[c+《∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx》] z=c{exp(-2sin x)}+(1/2){(sin x)^2-(sin x)+(1/2)} 以上の計算から z は z=c{exp(-2sin x)}+(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)] となりました.c は積分定数です.この式に z=cosy をいれると cos y=c{exp(-2sin x)}+(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)] となります.これが一般解です.この一般解が正しいかどうかの 検算を以下に書いておきます. 一般解 cos y=c{exp(-2sin x)}+(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)] の両辺を x で微分すると -y'(sin y)=c(-2cos x)・{exp(-2sin x)} +(1/2)[2(cos x)(sin x)-(cos x)] 一般解の式を用いて c を消去すると -y'(sin y)=(-2cos x)・[cos y-(1/2)[(sin x)^2-(sin x)+(1/2)]] +(1/2)[2(cos x)(sin x)-(cos x)] これを計算して整理すると y'(sin y)=(cos x)〈2cos y-(sin x)^2+(sin x)-(1/2) -(sin x)+(1/2)〉 y'(sin y)=(cos x)〈2cos y-(sin x)^2〉 となり,もとの与えられた微分方程式になるので,計算した一般解は正しいです. (2000字を越えるので,計算途中は省略しました)
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わかりやすい解説ありがとうございます。 本当に助かりました。