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y=sinxの逆関数の微分

y=sinxの逆関数をy=f(x)とおいたとき、x=sinyが成り立ち、 dy/dx = 1/ (dx/dy) = 1/cosy となるらしいのですが、 どうして急に、1/ (dx/dy) = 1/cosyと、cosが出てくるのでしょうか?

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  • 回答No.2
  • info222_
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x=sin(y) ...(※1) ⇔ y=sin^-1(x) ...(※2) 逆関数が存在するためのx,yの定義域は -1≦x≦1, -π/2≦y≦π/2 ...(※3) (※1)の両辺をxで微分すると 左辺はxをxで微分するから dx/dx=1 であり, 右辺はsin(y)をxで微分するから、先ずsin(y)をyで微分後,yをxで微分して dsin(y)/dx=dsin(y)/dy・dy/dx=cos(y)・dy/dx となります。 >どうして急に、1/ (dx/dy) = 1/cosyと、cosが出てくるのでしょうか? この疑問は sin(y)をyで微分するのであるから cos(y)が出てくるのです。 したがって、左辺の微分=右辺の微分 であるから 1=cos(y)・dy/dx dy/dx=1/cos(y) (ただし cos(y)≠0, -π/2<y<π/2) ...(※4) この微分dy/dxの定義域は -π/2<y<π/2 ...(※5) なので cos(y)>0 dy/dxをxの関数で表すには cos(y)=√{1-(sin(y))^2}=√(1-x^2) であるから、(※4)のdy/dxは dy/dx=1/√(1-x^2) (ただし -1<x<1) ...(※6) ともかけます。 通常の sin(x)の逆関数の微分公式は(※6)の表現がポピュラーですね。

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  • 回答No.1
  • SKJAXN
  • ベストアンサー率73% (52/71)

y=sin(x)をxで微分すると、 dy/dx=cos(x)になるということは、問題ありませんでしょうか? 問題がないようでしたら、 x=sin(y)をyで微分して、 dx/dy=cos(y) さらに、両辺の逆比を取って、 1/(dx/dy)=1/cos(y) となっただけです。

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