y=sinxの逆関数の微分

質問

y=sinxの逆関数をy=f(x)とおいたとき、x=sinyが成り立ち、
dy/dx = 1/ (dx/dy) = 1/cosy　となるらしいのですが、
どうして急に、1/ (dx/dy) = 1/cosyと、cosが出てくるのでしょうか？

回答No.2

info222_

x=sin(y) ...(※1) ⇔ y=sin^-1(x) ...(※2)
逆関数が存在するためのx,yの定義域は
-1≦x≦1, -π/2≦y≦π/2 ...(※3)

(※1)の両辺をxで微分すると

左辺はxをxで微分するから
dx/dx=1
であり,
右辺はsin(y)をxで微分するから、先ずsin(y)をyで微分後,yをxで微分して
dsin(y)/dx=dsin(y)/dy・dy/dx=cos(y)・dy/dx
となります。

>どうして急に、1/ (dx/dy) = 1/cosyと、cosが出てくるのでしょうか？
この疑問は
sin(y)をyで微分するのであるから cos(y)が出てくるのです。

したがって、左辺の微分＝右辺の微分 であるから
1=cos(y)・dy/dx

dy/dx=1/cos(y) (ただし cos(y)≠0, -π/2<y<π/2) ...(※4)

この微分dy/dxの定義域は　-π/2<y<π/2 ...(※5)
なので　cos(y)>0
dy/dxをxの関数で表すには　cos(y)=√{1-(sin(y))^2}=√(1-x^2)
であるから、(※4)のdy/dxは

dy/dx=1/√(1-x^2) (ただし -1<x<1) ...(※6)

ともかけます。
通常の　sin(x)の逆関数の微分公式は(※6)の表現がポピュラーですね。

回答No.1

SKJAXN

y＝sin(x)をxで微分すると、
dy/dx＝cos(x)になるということは、問題ありませんでしょうか？
問題がないようでしたら、
x＝sin(y)をyで微分して、
dx/dy＝cos(y)
さらに、両辺の逆比を取って、
1/(dx/dy)＝1/cos(y)
となっただけです。