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yがxの関数でない時の微分の定義

y=f(x)のときdy/dxの定義は, dy/dx=lim[Δx→0]{f(x+Δx)-f(x)}/Δx ですよね? これは,yがxの関数(一つのxに対してyが一つ)だから定義できます. では,yがxの関数でないとき(一つのxに対してyが二つ以上のとき),例えばx=y^2のとき,dy/dxの定義はどうなるんですか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • KI401
  • ベストアンサー率53% (44/82)
回答No.2

非常に良い質問ですね。 そのような「疑問」を持っていれば、数学はきっとできるようになりますよ! 先に答えを言うと、多価関数(1つのxに複数のy)でも定義は基本的に同じです。 ※興味があれば、多価関数についてwikipedia参照。 さて、簡単に説明しませう。x=y^2をyで微分してみると、dx/dy=2yですよね。 逆関数の微分dx/dy=1/(dy/dx)を使えば、dy/dx=1/(2y)となります。 一つのxに対しyが2つありますが、yの正負で場合分けできます。 例えばx=4のときならば ・y>0のとき、dy/dx= 1/4 ・y<0のとき、dy/dx=-1/4 となります。つまりdy/dxも「関数」ではなく、一つのxに対して複数の微分係数が 対応するもの(多価関数)になっています(元々二価なので当然ですね)。 しかし、定義自体は質問者さんが書かれているものと全く同じです。 逆関数微分も、Δy/Δx=(Δx/Δy)^-1(これはただの分数の式)から導けます。 逆関数微分を意識して、一度定義通りに極限を計算してみるといいでしょう。 微分を理解する上でΔy/Δxの極限という定義は重要なので、是非慣れて下さい!

106150
質問者

お礼

dy/dxが多価関数になっても全然問題ないんですね. いい質問と言ってもらえて自信が持てました. ありがとうございます!

その他の回答 (1)

  • takas223
  • ベストアンサー率22% (299/1308)
回答No.1

 こんにちは。  ルート関数って習ったかな?  これyについて直すとy=x^(1/2)ってことはわかります?  それを微分すれば言いだけの話です。  

106150
質問者

お礼

dy/dxの求め方は知ってたんですが,定義がいまいちわからなかったんです. すみません説明不足でしたm(__)m 回答して頂きありがとうございます!

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