逆関数と微分の混乱

質問

dy/dxとdx/dyについて

y=x^2のdx/dyはy=x^2の逆関数をとってyについて微分したものらしいんですが、なんか引っかかります。
逆関数をとっている時点で最初のｙとｘと同じ変化をしないので、最初のｘと逆関数のｙが変化すると最初のｙと逆関数のｘは同じ変化します。しかしこれでは、明らかに最初のｘ、ｙと無縁ですよね？？
ですから、あたかも最初のｙとｘと関連性のあるdx/dyが逆関数を微分したものと考えると混乱してきます。
誰か、混乱を正してください。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

まったく別の関数だから、関係が成り立つのがおかしいということですよね。
でも、立派に「逆関数」という関係があります。

#2さんの回答で書かれていますが、
＞ですから、逆関数のグラフの傾きは、元の関数のグラフの逆数になります。
＞ですから、逆関数のグラフの傾きは、元の関数のグラフの逆数になりますが理解できません。
＞え？　なんでだろうと思ってしまいます。

単に、直線：y＝ xについて対称な関数の微分係数の関係をみてみればいいと思います。
図を描いてみました。
対称移動した後の関数の「増加量」が入れ替わります。
このことから、逆数になることが見えてくるのではと。

回答No.4

alice_44

関数のグラフが、パラメータ表示されている
と考えては、どうでしょう？
例えば、y = √(1-xx) のことを
x = cos t, y = sin t と考えるようにです。

x, y をパラメータ t の関数としてみます。
すると、ロピタルの定理により、
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt),
dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt)
ですよね？

回答No.3

sanori

＞＞＞
ですから、逆関数のグラフの傾きは、元の関数のグラフの逆数になりますが理解できません。え？　なんでだろうと思ってしまいます。
そこのところを詳しく教えてほしいです。

そうですか。

方眼紙を用意してください。
そして、原点を方がシの真ん中にし、Ｘ軸、Ｙ軸を描き、
ｙ＝ｘ　のグラフ（直線）を描いてください。

次に、ｙ＝２ｘ　のグラフを描いてください。
その次に、ｙ＝２ｘの逆関数のｙ＝ｘ／２　のグラフを描いてください。
次に、定規を当てて、２本の直線が、ｙ＝ｘの両側に線対称であることを目で確認してください。

回答No.2

sanori

こんにちは。

逆関数のグラフは、直線ｙ＝ｘ（原点を通る傾き４５°の直線）を対称軸として、元の関数のグラフを線対称に裏返したものです。
ですから、逆関数のグラフの傾きは、元の関数のグラフの逆数になります。
たとえば、元の関数である場所の傾きが２だったら、逆関数のその場所での傾きは０．５です。

つまり、
逆関数のグラフの傾き　＝　１／元の関数のグラフの傾き
ですが、これを記号を使って書き直すと、
ｄｘ／ｄｙ　＝　１／（ｄｙ／ｄｘ）
です。
つじつまが合っています。

補足

こんにちわです。
逆関数のグラフは、直線ｙ＝ｘ（原点を通る傾き４５°の直線）を対称軸として、元の関数のグラフを線対称に裏返したものです。←ここまでは理解できます。
ですから、逆関数のグラフの傾きは、元の関数のグラフの逆数になります。

ですから、逆関数のグラフの傾きは、元の関数のグラフの逆数になりますが理解できません。え？　なんでだろうと思ってしまいます。
そこのところを詳しく教えてほしいです。

回答No.1

dame_dame_

混乱したときは定義から考えるのが分かりやすいです
まず逆関数について
y=f(x)のときにこれをx=g(y)の形に解きなおしたg(y)が
f(x)の逆関数になります

次にdy/dx(=df(x)/dx)ですが
df(x)/dx=lim_(h→0)(f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)

ここで
x+h=g(y+t)となるtを考えます
y+t=f(x+h)なので上の式は
=lim(h→0)(y+t-y)/(g(y+t)-g(y))

h→0のときt→0なので
=1/(dg(y)/dy)
つまり
df(x)/dx=dy/dg(y)

結局逆関数を取ってyで微分したものは元の逆数となっている
つまり
dy/dx=(1/(dx/dy))
という自然な関係になっていることがわかります