逆三角関数の微分の解き方

質問

逆三角関数の微分の問題で
(x^2) * (cot(x/2))^(-1) を微分せよって言う問題で
y=(x^2) * (cot(x/2))^(-1)として
cot(y/(x^2))=(x/2)
両辺をxで微分して
(dy/dx) * ( -(1/sin(y/x^2)) * 1/x^2) = 1/2
dy/dx = (-1/2) * x^2 * (sin(y/x^2))^2
= (-1/2) * x^2 * (tan(y/x^2)^2) / ((tan(y/x^2)^2) + 1)

cot(y/x^2)=x/2から
tan(y/x^2)=2/xで、これを代入して

dy/dx= -2x^2 / (x^2 + 4)とだしたのですが
答えは、2x * (cot(x/2))^(-1) - (2x^2 / (x^2 + 4))
となっています。
途中で計算ミスをしているのでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

何か違っているような・・・

cot(y/(x^2))=(x/2)
両辺をxで微分して
(dy/dx) * ( -(1/sin(y/x^2)) * 1/x^2) = 1/2

この部分ですが
cot(y/x^2)の微分が-1/sin^2(y/x^2)
それから中身の微分が(y/x^2)’＝(y*x^-2)’
＝dy/dx*x^-2＋ｙ*(-2x^-3)
で結構複雑になりそうに思いますが、最後まで確認してません。

お礼

回答ありがとうございます。
No.1の方の回答を見てから計算ミスがあるのに気がつきました。

回答No.1

proto

(arccos x)'=-1/√(1-x^2)
を使って、積の微分で解いてください

お礼

回答ありがとうございます。
公式として覚えちゃったほうが楽そうですね。