対数微分法について

質問

例えばy=sinx^xなどという関数は両辺自然対数をとりますよね
そのとき、左辺はlogyとなり
「両辺ｘについて微分したとき」左辺はy'/yとなりますが
「ｘについて微分なのになぜｙがxの関数かのように微分されているのですか？」
考えられたことは、logyを微分したら、d(logy)/dy×(dy/dx)でlogy/dxと同じことになるので、d(logy)/dyは1/yですよね。ということは・・・？dy/dxはy'ということでしょうか？けどyっていうのはxという文字を含んでいませんよね・・・。　合成関数みたいな感じでしょうか・・・？合成関数って微分したら中身をさらに微分するけど・・・　y'ってやるとyの中身は・・・？　などと混乱してしまいました。
アドバイスお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

＞yっていうのはxという文字を含んでいませんよね・・・。

yという変数にはxが含まれていますよ。
現にあなたの例でも
　　y={sin(x)}^x
と書かれています。
xの値を変えると、それにしたがってyの値も変わるので、yはxの関数ということになります。

関数の記号としてf(x)というのもよく目にするでしょう。
たとえば
　　y=f(x)={sin(x)}^x
として、対数をとると
　　log(f(x)) = x*log(sin(x))
両辺微分して
　　f'(x)/f(x) = log(sin(x))+x*cos(x)/sin(x)

この書き方だとlog(f(x))がいかにも合成関数という感じですよね。
f(x)でなくyの場合も、やっていることは全く変わりません。
なんなら
　　y(x) = {sin(x)}^x
と書くともっとxの関数らしく見えると思います。

＞y'ってやるとyの中身は・・・？

yの中身を微分したものがy'です
余計に混乱するかもしれませんが、yをxで微分する過程を細かく見ましょう
yは[f(x)=x]のxの中にyが入ったものとみなせます
このときf'(x)=1ですね。またy=f(y)と書けます。
yをxで微分すると、合成関数の微分の要領で
　　dy/dx = f'(y)*y' = 1*y' = y'
となります。
　　dy/dx = y'
そのまんま、当たり前の結果ですね。

この話がわからなくてもyをxで微分したらy'と書く。と覚えてしまえばそれでいいと思います。

お礼

すみません、間違えて補足にかいてしまいました・・・。
回答ありがとうございました。

補足

なるほど、　分かったつもりにはなりました。
一応操作できるので、大丈夫ですね、ありがとうございました。

回答No.3

adinat

他の回答者様をおっしゃっていますが、何が何の関数になっているかをしっかり見極めることが大切です。yがxの関数になっているというのは、xを決めればyが決まるという意味。逆にxが分からないとyの値も決まらないというわけです。こういう状態のことをyはxという文字を含んでいる、というわけです。

対数微分法はe-log変換が苦手な人向けですが、別に対数微分をしなくても普通に合成関数でもできます。その場合は、
y=(sinx)^x=e^{x・log(sinx)}
とやっておいて、あとは合成関数の微分法を使います。この手続きを簡略化したものが、対数微分法の公式なわけです。

お礼

なるほど～　こういう風にも変形できますよね　ありがとうございました

回答No.1

dq_playing_hard

＞なぜｙがxの関数かのように微分
＞yっていうのはxという文字を含んでいませんよね

ｙっていうのはｘの関数なのでは？

補足

ｘについての関数なのだから・・・　yにはxが含まれているということですよね・・　ありがとうございます！