対数微分法

質問

高校生です。
参考書を読んでも理解できない点があったので質問させてください。

y = x / {(x+1)(x+2)^3}　を微分せよ　という問題なのですが、
解答例として
両辺の絶対値の自然対数をとる　→　両辺をxで微分する　という
プロセスが示されているのですが、
(1)＜絶対値＞の対数をとって計算したのに、なぜその結果をもとの関数の導関数とすることができるのか。
（絶対値をとる意味）
(2)x=0　が定義域に含まれているのに計算途中で log|x| を登場させていいのか。
（真数などの条件もおさえられているのか）
などが、どうもいまいちピンときません。
（計算の仕方 つまり 対数法則や、合成関数の微分などは理解できています）　

どなたか説明をよろしくお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

(1) log|y|を微分したらy'/yになるから
もし、絶対値をとらないと、y≦0でlog(y)が定義できないので、未定義の点が孤立点じゃなくなってしまって、(2)の議論ができなくなってしまいます。

(2) もちろん、log|x|が出てきた時点でx≠0て条件が入ってしまっているので、対数微分法で単純に計算した時点では、x≠0での微分係数は分かっていません。（そもそもx=0で微分可能なのかどうかもわかってません）
なので、対数微分法でいったん計算し終わった後で、改めて、x=0についてはどうなのか考えるわけです。

すると、元の関数 x / {(x+1)(x+2)^3}　も
対数微分法で計算した（x≠0）での微係数 {-3x^2-2x+2)/{(x+1)^2(x+2)^4} も
x=0で連続ってことがわかります。
てことは、x=0でも微分可能で（右微分係数と左微分係数が等しい）あって、その微分係数は、{-3x^2-2x+2)/{(x+1)^2(x+2)^4} にx=0を代入したものになるはず、ってことが分かります。

というわけで、答案としては、一旦、対数微分法で計算した後で、最後に、元の関数と、対数微分法で計算した微分係数が、ともに、x=0で連続、ってことに一言触れておくと完璧です。
ただ、普通はそこまでする必要はないと思いますが。

お礼

ありがとうございました。
詳しい解説、大いに参考にさせていただきました。
なんとなく、気持ち悪さが取り払われたかなと思います。

回答No.3

jlglg

一致の定理が背景です

お礼

参考にさせていただきます。

回答No.1

moumougoo

よく知らないのですが、
y = x / {(x+1)(x+2)^3}　をぐっとにらんで、dy/dxはxの全領域で同じ有理関数になることがわかるので、ある領域で正しい有理関数が得られたら全領域でも同じ関数になる。という感じかなと思います。
（答えに絶対値が入ったりするのでしょうか？）

お礼

ありがとうございました。
雰囲気はつかめました。