対数微分法を使って次の関数の導関数をもとめよ。

質問

対数微分法を使って次の関数の導関数をもとめよ。
y=x^(1/3)*(1-x)^(1/2)*(1+x)^(1/4)
よろしくお願いします。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

y＝x^(1/3)*(1－x)^(1/2)*(1＋x)^(1/4)
の両辺の対数をとると
log(y)＝log[ x^(1/3)*(1－x)^(1/2)*(1＋x)^(1/4) ]＝
　　　＝log[x^(1/3)]＋log[(1－x)^(1/2)]＋log[(1＋x)^(1/4)]＝
　　　＝(1/3)log(x) ＋ (1/2)log(1－x) ＋ (1/4)log(1＋x)
となります．この両辺を x で微分すると

[log(y)]'＝[(1/3)log(x)]' ＋ [(1/2)log(1－x)]' ＋ [(1/4)log(1＋x)]'
y'/y ＝(1/3)(1/x) ＋ (1/2)[－1/(1－x)] ＋ (1/4)[1/(1＋x)]
y'/y ＝1/3x － 1/[2(1－x)] ＋ 1/[4(1＋x)]
y' ＝y*{1/3x － 1/[2(1－x)] ＋ 1/[4(1＋x)]}

y' ＝x^(1/3)*(1－x)^(1/2)*(1＋x)^(1/4)*{1/3x － 1/[2(1－x)] ＋ 1/[4(1＋x)]}

です．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

aquatarku5

両辺の対数をとると、
log(y)=1/3*logx+1/2*log(1-x)+1/4*log(1+x)

両辺をxで微分すると、
左辺=dlog(y)/dx=dy/dx・dlog(y)/dy=y'/y
右辺=1/(3x)-1/{2(1-x)}+1/{4(1+x)}

よって、
y'=右辺×yとなります。
あと、右辺およびyにxの式をそれぞれ代入して整理すれば
コタエが求まります。

お礼

ありがとうございました。