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偏微分(?)について

すべての実数xについて微分可能な関数f(x)において f(x+y)=f(x)+f(y)+xy…(A) f'(0)=1 (1)f(0)の値を求めよ。 (2)f(x)を求めよ。 という問題ですが、(1)はいいとして、(2)で計算していくときに普通にやるならば導関数の定義に持ち込むことになると思います。ただこのタイプの問題としてはもちろん毎回違う形で関数が与えられますから、式変形の最中にどうすればいいか止まってしまうこともありえます。 ところが、この問題の場合すべてのxにおいて微分可能が保障されているので「(A)において、xを固定し、yで微分する」というやり方(多分これが偏微分だと思うのですが...)を用いるとすぐに解けますし、迷う箇所もありません。 これは予備校で教わったのですが、もちろん教科書には書かれていません。確かに(x+y)^2=x^2+2xy+y^2に対してこれと同じ事をおこなうと、両辺等しくなり等号は成り立ちます。つまり恒等式であり続けます。しかしこの解法について根本的に理解したとは思えませんし、教科書にないようなこういう解答は許されるのでしょうか?

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  • 回答No.3

>教科書にないようなこういう解答は許されるのでしょうか? 許されます. #2さんの回答の考え方でいいと思います. 例えば,x^2+y^2=1上の(xo,yo)での接線を微分を使って求めるとき,どのように解きますか? きっと偏微分が必要になってくると思います. f(x+y)=f(x)+f(y)+xy系の問題は1999年の慶應義塾大学医学部数学(II)の問題や2003年筑波大学数学(I)の問題を一度解いてみればいいと思います. また,rockman9さんが「回答に対するお礼」で書いてある関数について知りたいのなら,2000年の東京大学文系数学(II)の問題を解いてみればわかると思います.

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質問者からのお礼

参考問題を示していただきすごく助かります!!どうもありがとうございます! x^2+y^2=1を微分→2x+2y・y'=0 ですよね?これも予備校行ってから初めて教わったんですが...もしかして#1さんの説明の意味をちゃんと理解してないからこんな疑問が生まれるのかもしれませんが、一応お聞きしてよろしいでしょうか?ここでは d/dx・x^2+d/dy・y^2・dy/dx というのをやっているのだと思うのですが、ここでyは固定されているのでしょうか?それとも変数ですか?予備校では「yはxの関数だから~」みたいなことを言われたのですが、正直あんまり理解していませんでした。yがxの関数ならyの一つの値にxが一つ定まるのにxが2次ならそうとは限らないのではないかなどと一人で勝手に考えてどんどんはまってました。何かアドバイスいただけたらと思います。

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  • 回答No.5

>ヒントを頂いたとおり第2項を積の微分法で解くとy'*x^2+2yxということになるのでしょうか...? そうです. ここで,yというのはxに依存してない定数でしょ? この問題の場合「は」ですよ. なので,定数の微分は0になるので,y'*x^2+2yx=0+2yxとなります. 例えば,aの関数y=2a^2+xというのがあれば,xは単なる定数です. つまり,日本語の「yはxの関数だから~」という言葉につられないようにしなければなりません.

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質問者からのお礼

...やっと理解しました... 日本語につられず微分する文字に依存してるのかどうか、それだけで解決する話だったのですね!そう考えれば確かに楕円の式なんかをxで微分するとき、yはxに依存する文字(xの値によってyの値が決まる⇔xとyは従属)ですから消せない、ということになるんですね?この微分の仕方を初めて教わったときに、「y=f(x)と見たらy^2→2yy'になるよね?」と言われたのですが、まずy=f(x)と見たらっていうのがしっくりきてませんでした。でも普通に考えれば当たり前ですよね。ここまで理解力無いとはほんとにお恥ずかしいです... わざわざここまでついてきていただき本当にありがとうございました!!!まだまだ数(3)Cの質問たくさんすると思いますのでまたお力頂けたらと思います。

  • 回答No.4

>ここでyは固定されているのでしょうか?それとも変数ですか? どう考えても変数でしょう. 「yはxの関数だから~」 ↑この概念が頭から離れないのではないですか? 例えば,xの関数f(x)が f(x) = x^3 + y*x^2 + y^2 の形で,xについて微分せよという問題があればどのように解きますか? (ただし,yについては特に但し書きがあるわけではありません) 不安なら真ん中の項を積の微分法を使って解いてみてください.

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質問者からの補足

>どう考えても変数でしょう. ですよね?... >「yはxの関数だから~」 ↑この概念が頭から離れないのではないですか? おっしゃる通りだと思います。挙げていただいた関数の微分についてですが、これはyが定数扱いになるのでしょうか?ヒントを頂いたとおり第2項を積の微分法で解くとy'*x^2+2yxということになるのでしょうか...? やっぱり全然理解できてないですね。申し訳ありません!もう少しアドバイスいただけたらと思います。

  • 回答No.2
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

厳密に言うと、yはxとaとbの3変数関数ということになります。一般に複数個の変数を決めると値が一つ決まるような関数を「多変数関数」と言いますが、高校数学ではあまり厳密に多変数を扱うことはありません。逆に普通のxを一つ決めるとyが一つ決まるような関数を特に「一変数関数」と呼んでいます。 ただしここはある意味考え方の問題なのですが、同じy=x^2+ax+bでもa,bをただの定数(要するにa,bは動かない単なる数を表したもの、2とか-3とか√7とかと同じ)と考える場合は、通常の一変数関数だと思えるし、そうじゃなくて、aもbも動く変数だと思うなら、3変数関数ということになります。そして後者だと思うときにxについて微分する操作は要するにxに関する偏微分になるわけです。他方、前者はa,bは"単なる"定数ですから、xでの微分は何も偏微分ということはなく、通常の微分と考えられるわけです。ちなみにここは大学での数学になりますが、3変数関数とみたとき、単にxで微分する(偏微分)のではなくて、全変数で微分するような"全微分"と呼ばれる微分もあります。これはちょっと難しいのでここに書くことはやめておきましょう。ですが、変数が複数個ある場合はどの変数で偏微分するのか、または全微分するのかで結果がまったく変わってくるんだ、ということは知っておいて損はないかも知れません。

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質問者からのお礼

こんなに丁寧な説明をしていただきありがとうございます!もちろんまだ習ってはいないことですが、こういう知識があればたとえ予備校で教わったことでも、自分が何をしてるのかが分かるので解いていても不安が残りません。本当にありがとうございます!

  • 回答No.1
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

確かにやっていることは偏微分ですが、ある文字を固定して(つまり定数とみて)微分する、というアイデアを納得できるのであれば何ら問題はないと思います。教科書に書いてあろうがなかろうが問題なく使ったらよいと思います。まぁもし万が一(仮定法です!)反対する人がいたとして、お堅い高校の先生ぐらいでしょうから遠慮はいりません。 たとえば次のようなよく見かけるタイプの二次関数があるとします。 y=x^2+2ax+b この微分は普通何も考えずに2(x+a)とやりますよね。ここでは暗黙にa,bは定数と思ってxでのみ微分(偏微分!)しているわけです。このようなことは高校数学でも普通にやっているはずです。それと同じように考えられれば違和感はないと思います。 (ただし当然ですが、yがもしxの関数であるならば、同じようなことは出来ません。つまり合成関数の微分になってしまいます。ただこの問題ではその心配はいりませんが)

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質問者からのお礼

仰るとおりです...確かに今まで普通にやっていた微分もよくよく考えれば偏微分ですね。よく分かりました! すみません。ついでになってしまうのですが、ちょっと気になるのでもしよろしければ再度お答えいただきたいです。 関数について、 yがxの関数であるとは「xの値を一つ定めるとそれに対応してyの値が一つに定まる」ということですよね?例で挙げていただいた2次関数ではa,bによって一意に決まらないからyはxの関数ではないという解釈でよいでしょうか?なんか最も基本的なところに戻ってしまいましたが不安を残したくないので関数についてもお聞きしておきたいです。よろしくお願いします。

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