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対数関数の微分

いつもお世話になっています。 微分のところを勉強していて  x^n → n x^(n-1)  sin(x) → cos(x)  e^x → e^x などは導関数の定義から求めることができました。 しかし、教科書では対数関数の微分が log(x) → 1/x なることだけは 逆関数の微分を使って求めています。 そのやり方は納得できたのですが、  lim {log(x+h) - log(x)}/h から変形して求めることはできないのでしょうか?

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  • chiezo2005
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回答No.1

普通に変形すれば左辺のリミットの中は log((1+(h/x))^(1/h))となるのでeの定義 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/henkan.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/e-no-teigi.html から 1/x になりますよ。

monster54
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 慣れていなくて log((1+(h/x))^(1/h)) の変形ができていませんでした。 lim {log(x+h) - log(x)}/h = lim {log(1+h/x)}/h = lim { log(1+h/x)^(1/h) } = lim { log(1+h/x)^(x/h・1/x) } = lim {log(1+h/x)^(x/h)}/x = (1/x) lim {log(1+h/x)^(x/h)} のように変形して h→0 のときに  (1+h/x)^(x/h) → e となるのが e の定義なので = (1/x) log(e) = 1/x となる、というので合っていますでしょうか?

その他の回答 (1)

  • chiezo2005
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回答No.2

#1です。 お答えのとおりであっていますよ(^_^)

monster54
質問者

お礼

ありがとうございます。 ずっと考えていたのでとてもすっきりしました。

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