微分

質問

y=x^(1/x)を微分しなさい。

これは、対数微分法でといてよいのでしょうか？？
対数微分法でとくにはxが1<xの関係でないとダメなんですよね？？
対数微分法でとけないのならば、普通に合成関数でといてよいのでしょうか？？
質問ぜめですみません。

回答No.2

proto

(d/du)x^n = nx^(n-1)
この公式が使えるのはxの指数nが定数の時だけです。
nをxの関数と見て公式を適用することはできません。
もちろん結果も間違ったものになります。

＞もし問題にｘ＞０というような条件がなければ、
＞合成関数でとくべきなのでしょうか？？

まず a^x のように、何かをx乗する場合、
aが負数では結果が複素数になる場合があるので、実関数として考える場合にはa>0の場合に限定するのが常識的です。
もしa=-1とするとx=1/2のとき
　　a^x = (-1)^(1/2) = √(-1) = ±i
となってしまいます。
今回のような場合も、x^(1/x)でx<0では計算結果が複素数になる場合があるので、暗黙のうちにx>0とするのが普通かもしれません。
どちらにしてもx<0では実数の範囲で連続にはなりませんから、普通に微分はできません。

そのような場合には、対数微分法が使えないと考えるのではなく、とりあえずx>0の場合に関して対数微分法を適用して、x<0の場合については後で考えよう、と思ってください。
とりあえず、真数>0となる範囲だけを取り出して考えれば、どんなときにも対数微分法は使って構いません。

真数条件を気にするならばy=f(x)の両辺の絶対値を取ってから対数をとり微分するのが、正しい対数微分法だったような気もします。ちょっと自信なしですが。
　　log|y| = y'/y
なので結果は変わりません。

ちなみにどうしても合成関数で微分したいなら
　　x^(1/x) = exp(log(x)/x)
と式変形すればokです。

回答No.1

info22

＞対数微分法でとくにはxが1<xの関係でないとダメなんですよね？？
x＞0であれば問題ないですね。
x＞0ならy＞0
log y=(1/x)log x
y'/y=-{1/(x^2)}(log x)+(1/x)(1/x)
=(1-log x)/x^2
y'=[x^{(1/x)-2}](1-log x)
でいいと思います。

お礼

返信ありがとうございます。
もし問題にｘ＞０というような条件がなければ、
合成関数でとくべきなのでしょうか？？

y=x^u dy/du=ux^(u-1)
u=1/x du/dx=-x^(-2)
y'=(-1/x^3)*x^((1/x)-1)
このような解法は成り立たないきがするのですがどうでしょうか？？